Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(a\) thuộc \(\left[ { – 20;20} \right]\)để bất phương trình \({\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\) có không quá 20 nghiệm nguyên?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(a\) thuộc \(\left[ { – 20;20} \right]\)để bất phương trình \({\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\) có không quá 20 nghiệm nguyên?
A. \(22\).

B. \(23\).

C. \(21\).

D. \(24\).

Lời giải chi tiết

PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}{x^3} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Với điều kiện trên, ta có:
\({\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 2{\log _3}x + a\sqrt {3{{\log }_3}x} + a + 1 \le 0\).
Đặt \(\sqrt {3{{\log }_3}x} = t\), \(\left( {t \ge 0} \right)\)\( \Rightarrow {\log _3}x = \frac{{{t^2}}}{3}\).
Ta có bất phương trình \(\frac{2}{3}{t^2} + at + a + 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 3a \le – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\).
Nhận xét:
Xét hàm số \(f\left( t \right) = – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), ta có:
\(f’\left( t \right) = – \frac{{2{t^2} + 4t – 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\). Giải phương trình \(f’\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 2 – \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left( l \right)\\t = \frac{{ – 2 + \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên

Bảng giá trị

 Bất phương trình \({\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\) có không quá 20 nghiệm nguyên
\( \Leftrightarrow 3a > – \frac{{6{{\log }_3}21 + 3}}{{\sqrt {3{{\log }_3}21} + 1}} \Leftrightarrow a > – \frac{{2{{\log }_3}21 + 1}}{{\sqrt {3{{\log }_3}21} + 1}} \approx – 1,685\)
Tập các giá trị của \(a\) thỏa đề là \(\left\{ { – 1\,;\,0\,;….;20} \right\}\)
Có 22 giá trị của \(a\) thỏa đề.
Cách 2: Thầy Nguyễn Văn Quý
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _3}{x^3} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Với điều kiện trên, ta có:
\({\log _3}{x^2} + a\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + a + 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 2{\log _3}x + a\sqrt {3{{\log }_3}x} + a + 1 \le 0\).
Đặt \(\sqrt {3{{\log }_3}x} = t\), \(\left( {t \ge 0} \right)\)\( \Rightarrow {\log _3}x = \frac{{{t^2}}}{3}\).
Ta có bất phương trình \(\frac{2}{3}{t^2} + at + a + 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow 3a \le – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = – \frac{{2{t^2} + 3}}{{t + 1}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), ta có:
\(f’\left( t \right) = – \frac{{2{t^2} + 4t – 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\). \(f’\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ – 2 – \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left( l \right)\\t = \frac{{ – 2 + \sqrt {10} }}{2}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\).

Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu bài toán tương đương với \(3a > – 5 \Leftrightarrow a \ge – \frac{5}{3} \approx – 1,67\).
Mà \(a \in \left[ { – 20;20} \right]\) nên có 22 giá trị \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.