Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để phương trình \({2021^{2x}} – {22.2021^x} + 2021 – m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa \({x_1} + {x_2} \ge \frac{1}{2}\)?
A. \(97\). B. \(67\). C. \(79\). D. \(76\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Đặt \(t = {2021^x} > 0\).
Phương trình đã cho đã thành \({t^2} – 22.t + 2021 – m = 0\) \(\left( 1 \right)\)
Yêu cầu bài toán phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{11^2} – 2021 + m > 0\\2 > 0\\2021 – m > 0\end{array} \right.\\\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1900\\m < 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow 1900 < m < 2021\)\(\left( * \right)\).
Gọi \({t_1}\), \({t_2}\) là hai nghiệm phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow {t_1}.{t_2} = 2021 - m\)
Mặt khác: \({x_1} + {x_2} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow {2021^{{x_1} + {x_2}}} \ge {2021^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow {t_1}.{t_2} \ge \sqrt {2021} \Leftrightarrow 2021 - m \ge \sqrt {2021} \)
\( \Leftrightarrow m \le 2021 - \sqrt {2021} \simeq 1976,04\).
Kết hợp điều kiện \(\left( * \right)\) ta có \(1900 < m \le 2021 - \sqrt {2021} \).
Vậy có 76 số nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.
Trả lời