Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : $y=\sin \frac{2x}{1+x^2}+ \cos \frac{4x}{1+x^2}+1$.
Lời giải
Đặt $t=\sin\frac{2x}{1+x^2}$, ta có:
$-1\leq \frac{2x}{1+x^2}\leq 1; [-1,1]\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
do đó: $\sin (-1)\leq \sin \frac{2x}{1+x^2}\leq \sin 1\Leftrightarrow -\sin 1\leq t \leq \sin 1.$
Khi đó, hàm số được chuyển về dạng :
$y=-2t^2+t+2=f(t)$.
-Miền xác định $D=[-\sin 1, \sin 1]$.
-Đạo hàm : $f^’=-4t+1, f^’= 0\Leftrightarrow-4t+1=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\in D$.
-Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
1. $\min f=\min [f(-\sin 1), f(\sin 1)]=-2\sin^21-\sin 1+2$, đạt được khi :
$t=-\sin 1\Leftrightarrow \frac{2x}{1+x^2}=-1\Leftrightarrow x=-1$
2. $\max f= f(\frac{1}{4})=\frac{17}{8}$, đạt được khi:
$t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sin \frac{2x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$
Trả lời