Đề bài: Cho bốn số thực dương $a,b,x,y,z (a,b$ không đổi )Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q$ khi $x,y,z$ biến thiên với $Q=\frac{x^2}{(ay+bz)(az+by)}+\frac{y^2}{(az+bx)(ax+bz)}+\frac{z^2}{(ax+by)(ay+bx)}$
Lời giải
Ta có: $(ay+bz)(az+by)\\=ab(y^2+z^2)+(a^2+b^2)yz \leq ab(y^2+z^2)+\frac{1}{2}(a^2+b^2)(y^2+z^2)$
Tóm lại $(ay+bz)(az+by) \leq \frac{1}{2}(a+b)^2(y^2+z^2)$
$\Rightarrow \frac{x^2}{(ay+bz)(az+by)} \geq \frac{2x^2}{(a+b)^2(y^2+z^2)}$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $x=y$
Tương tự $\frac{y^2}{(az+bx)(ax+bz)} \geq \frac{2y^2}{(a+b)^2(z^2+x^2)}$
$\frac{z^2}{(ax+by)(ay+bx)} \geq \frac{2z^2}{(a+b)^2(x^2+y^2)}$
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: $Q \geq \frac{2}{(a+b)^2}(\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2})$
Theo Nestbit: Với $\forall a,b,c$ dương luôn có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$, suy ra:
$Q \geq \frac{3}{(a+b)^2}$. Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $x=y=z$.
Vậy $\min Q=\frac{3}{(a+b)^2}$
Trả lời