Đề bài: Cho các hàm số : $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}},g(x) = \frac{x}{{1 – \left| x \right|}}$$ a)$ Tìm miền xác định và miền giá trị của $f(x) $ và $g(x).$$ b)$ Tìm $g_0f$ và $f_0g.$
Lời giải
$a)$ $f(x) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}$ có miền xác định : $D = R$
$f( – x) = – \frac{x}{{1 + \left| x \right|}} = -f(x) \Rightarrow f(x)$ lẻ.
Ta chỉ tìm miền giá trị ứng với $x\in [0, +\infty $] rồi sau đó lấy đối xứng qua $Oy$ : $\forall y \in
f((0, + \infty ));\exists x \in (0, + \infty ):y = \frac{x}{{1 + x}}$
$ \Leftrightarrow (1 – y)x = y \Rightarrow \frac{y}{{1 – y}} \ge 0 \Leftrightarrow y \in
{\rm{[}}0,1)$
Lấy đối xứng qua $Oy$, miền giá trị $T = (-1,1)$
Tương tự $g(x)$ cũng là hàm số lẻ
$\Rightarrow $ Miền xác định $D = R\left\{ {\pm 1} \right\}$
Miền giá trị : $T = R$
$b) (g_0f) = g[f(x)] =$ $\frac{{f\left( x \right)}}{{1 – \left| {f(x)} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 +
\left| x \right|}}}}{{1 – \left| {\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 +
\left| x \right|}}}}{{1 – \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}}}} = x$
$(f_0g)(x) = f[g(x)] =$ $\frac{{g\left( x \right)}}{{1 + \left| {g(x)} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 –
\left| x \right|}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 – \left| x \right|}}} \right|}}$ ($*)$
• $ x \geq 0 : (*) \Leftrightarrow (f0g)(x) =$ $\frac{{\frac{x}{{1 – x}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 – x}}}
\right|}}$
*$ 0 \leq x * $x > 1$ : $\left| {\frac{x}{{1 – x}}} \right|$ = $ – \frac{x}{{1 – x}}$ $\Rightarrow (f0g)(x) = \frac{x}{{1 – 2x}}$
• $ x – \left| x \right|}}} \right|}}$
* $-1 * $x Tóm lại : $(f_0g)(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{1 – 2\left| x \right|}}x 1\\
x{\rm{- 1 \end{array} \right.$
Trả lời