Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – (2m + 1)x + {m^2} – m}}{{x + {m^2} + 4m + 5}}$trong đó $m$ là tham số1) Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục $Ox$, khi $m$ thay đổi.2) Tìm quỹ tích giao điểm của đồ thị với trục $Oy$, khi $m$ thay đổi
Lời giải
$1)$ Điều kiện : $x + {m^2} + 4m + 5 \ne 0$
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục $Ox$ là nghiệm của phương trình
${x^2} – (2m + 1)x + {m^2} – m = 0$
$ \Leftrightarrow {m^2} – (2x + 1)m + {x^2} – x = 0$ $ (1)$
$(1)$ có nghiệm đối với m $ \Rightarrow $
$\Delta = {(2x + 1)^2} – 4({x^2} – x) = 8x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – 1/8$
Vậy quỹ tích phải tìm là tập điểm trên trục $Ox$ thỏa mãn điều kiện $x \ge – 1/8$
$2)$ Tung độ giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là
$y = \frac{{{m^2} – m}}{{{m^2} + 4m + 5}} \Leftrightarrow {(y – 1)^2} + (4y + 1)m + 5y = 0$ $(2)$
$(2)$ có nghiệm đối với $m$ khi và chỉ khi:
a) $\left\{ \begin{array}{l}
y \ne 1\\
\Delta = {(4y + 1)^2} – 20y(y – 1) = – 4{y^2} + 28y + 1 \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \frac{{7 – 5\sqrt 2 }}{2} \le y \le \frac{{7 + 5\sqrt 2 }}{2}{\rm{ (y}} \ne {\rm{1)}}$
b) $y = 1$ $(2)$ trở thành $5m + 5 = 0 \Rightarrow m = – 1$
Kết hợp a), b) ta có quỹ tích phải tìm là tập điểm trên trục $Ox$ thỏa mãn điều kiện:
$\frac{{7 – 5\sqrt 2 }}{2} \le y \le \frac{{7 + 5\sqrt 2 }}{2}{\rm{ }}$
Trả lời