Đề: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1} $ có đồ thị $(C)$.  Tìm $k$ để đường thẳng $y=kx+2k+1$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho khoảng cách từ $A, B$ đến trục hoành bằng nhau

Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1} $ có đồ thị $(C)$.  Tìm $k$ để đường thẳng $y=kx+2k+1$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho khoảng cách từ $A, B$ đến trục hoành bằng nhau

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và $(C)$: $\frac{2x+1}{x+1}=kx+2k+1 $
$\Leftrightarrow  kx^2+(3k-1)x+2k=0   (x=-1$ không phải là nghiệm)
Đường thẳng $y=kx+2k+1$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ khi và chỉ khi $k\neq  0$ và $\Delta =k^2-6k+1>0$, tức là $k3+2\sqrt{2} $ với $k\neq  0  (*)$
Khoảng cách từ $A$ và $B$ đến $Ox$ bằng nhau khi và chỉ khi: $|y_A|=|y_B|\Leftrightarrow  |kx_A+2k+1|=|kx_B+2k+1|$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k{x_A} = k{x_B}\\
k({x_A} + {x_B}) + 4k + 2 = 0
\end{array} \right.(loại  x_A=x_B)$
$\Leftrightarrow  k \left ( \frac{1-3k}{k}  \right )+4k+2=0\Leftrightarrow  k=-3$ (thỏa đk (*))
Vậy $k=-3$ là giá trị thỏa mãn điều kiện của bài toán.