Đề: Cho parabol:  $y = {x^2}+(2m + 1)x + {m^2} – 1$.   Trong đó $m$ là tham số.a) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi $m$ biến thiênb) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng $y = x$ với parabol không phụ thuộc vào $m$.c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Đề bài: Cho parabol:  $y = {x^2}+(2m + 1)x + {m^2} – 1$.   Trong đó $m$ là tham số.a) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi $m$ biến thiênb) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng $y = x$ với parabol không phụ thuộc vào $m$.c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Lời giải

a) Tọa độ đỉnh của parabol $y = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} – 1$ là
    $x = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – (2m + 1)}}{2} =  – m – \frac{1}{2}$,             $(1)$
    $y = \frac{{ – \Delta }}{{4a}} = \frac{{ – (4m + 5)}}{4} =  – m – \frac{5}{4}$             $(2)$
Khử $m$ từ $(1)$ và $(2)$ ta được quỹ tích của đỉnh của parabol là đường thẳng $y = x – \frac{3}{4}$.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x$ và parabol
    $y = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} – 1$
là nghiệm của phương trình:  ${x^2} + (2m – 1)x + {m^2} – 1 = x$
$ \Leftrightarrow {(x + m)^2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = – 1 – m,  {\rm{ }}{x_2} = 1 – m$
Do ${x_2} – {x_1} = (1 – m) – ( – 1 – m = 2,{\rm{ }}\forall {{m}}$ nên hai đường thẳng ${x_1} =  – 1 – m,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = 1 – m$ định trên đường thẳng $y = x$ là những đoạn thẳng không đổi, $\forall m$. Đó là điều phải chứng minh.

c) Viết lại parabol dưới dạng : $y = {(x + m)^2} + x – 1$.
Khi đó phương trình:  ${(x + m)^2} + x – 1 = x – 1 \Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} = 0$
luôn có nghiệm kép $x = – m$, $\forall m$.
Vậy parabol đã cho luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = x – 1,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$