Đề: Cho hàm số:  $y = 4{x^3} – 3x + 1$1) Giả sử $A$ là một điểm trên đồ thị có hoành độ ${x_A} = 1$ và $(d)$ là đường thẳng đi qua $A$, có hệ số góc $m$. Hãy xác định $m$ để $(d)$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt $M, N$ khác với $A$.2) Giả sử $P$ là một điểm trên $d$, với hoành độ ${x_P}$ thỏa mãn:  $\frac{{{x_A} – {x_M}}}{{{x_N} – {x_A}}} = \frac{{{x_P} – {x_M}}}{{{x_P} – {x_N}}}$(${x_M},{x_N}$ là hoành độ của các điểm $M, N$). Tìm quỹ tích  của điểm $P$ khi $m$ biến thiên

Đề bài: Cho hàm số:  $y = 4{x^3} – 3x + 1$1) Giả sử $A$ là một điểm trên đồ thị có hoành độ ${x_A} = 1$ và $(d)$ là đường thẳng đi qua $A$, có hệ số góc $m$. Hãy xác định $m$ để $(d)$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt $M, N$ khác với $A$.2) Giả sử $P$ là một điểm trên $d$, với hoành độ ${x_P}$ thỏa mãn:  $\frac{{{x_A} – {x_M}}}{{{x_N} – {x_A}}} = \frac{{{x_P} – {x_M}}}{{{x_P} – {x_N}}}$(${x_M},{x_N}$ là hoành độ của các điểm $M, N$). Tìm quỹ tích  của điểm $P$ khi $m$ biến thiên

Lời giải

$1)$ Theo giả thiết ${x_A} = 1$ nên ${y_A} = {4.1^3} – 3.1 + 1 = 2$, do đó phương trình đường thẳng $d$ là
    $y – 2 = m(x – 1){\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{y}} = mx – m + 2$
Hoành độ ${x_A},{x_M},{x_N}$ của $A, M, N$ là nghiệm của phương trình:
    $4{x^3} – 3x + 1 = mx – m + 2$
$ \Leftrightarrow 4{x^3} – (3 + m)x + m – 1 = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(4{x^2} + 4x + 1 – m) = 0$
$ \Leftrightarrow (x – 1)\left[ {{{(2x + 1)}^2} – m} \right] = 0$
Do ${x_A} = 1$ nên ${x_M},{x_N}$ là nghiệm của phương trình:
        ${(2x + 1)^2} – m = 0$                $(1)$
Để $M \ne N$ và $ \ne A$ ta cần có:
        $\left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
{(2.1 + 1)^2} – m \ne 0
\end{array} \right.{\rm{    }} \Leftrightarrow {\rm{9}} \ne m > 0$

$2)$ ${x_A} = 1$ nên đẳng thức đã cho trở thành:
    $\frac{{1 – {x_M}}}{{{x_N} – 1}} = \frac{{{x_P} – {x_M}}}{{{x_P} – {x_N}}} \Rightarrow (1 – {x_M})({x_P} – {x_N}) = ({x_N} – 1)({x_P} – {x_M})$
$ \Leftrightarrow \left[ {2 – ({x_M} + {x_N})} \right]{x_P} = ({x_M} + {x_N}) – 2{x_M}{x_N}$
$ \Rightarrow {x_P} = \frac{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right) – 2{x_M}{x_N}}}{{2 – ({x_M} + {x_N})}}$
Do ${x_M},{x_N}$ là nghiệm của $(1)$, theo định lý Viet ta có:
${x_M} + {x_N} = – 1$, ${x_M}{x_N} = (1 – m)/4$.
Từ đó ta được:
    ${x_P} = \left[ { – 1 – 2.\left( {\frac{{1 – m}}{2}} \right)} \right]/(2 + 1) = \frac{{m – 3}}{6}$            $(2)$
Và    ${y_P} = m{x_P} – m + 2$                        $(3)$

Khử $m$ khỏi $(2)$ và $(3)$ ta được ${y_P} = 6x_P^2 – 3{x_P} – 1$.
Lại do $m \ne 9$ nên ${x_P} \ne (9 – 3)/6 = 1$; $m > 0$ nên ${x_P} = – 1/2 + m/6 > – 1/2$

Vậy quỹ tích của $P$ là nhánh parabol $y = 6{x^2} – 3x – 1,{\rm{ x}} > – 1/2$ bỏ điểm có hoành độ $1$