Đề: Cho hàm số: $y = x^3 – \frac{3}{2}mx^2 + \frac{1}{2}{m^3}$ với $m$ là tham số$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1.$$2$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x.$$3$. Xác định $m$ để đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $AB = BC.$

Đề bài: Cho hàm số: $y = x^3 – \frac{3}{2}mx^2 + \frac{1}{2}{m^3}$ với $m$ là tham số$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1.$$2$. Xác định $m$ để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x.$$3$. Xác định $m$ để đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $AB = BC.$

Lời giải

$1.$ Xin dành cho bạn đọc. 
$2.$ Với hàm số $y=x^3-\frac{3}{2} mxx^2+\frac{1}{2} m^3$
Ta có :
$\begin{array}{l}
\,y’ = 3{x^2} – 3mx = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = m
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}{m^3}\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì $m \ne 0 \Rightarrow $CĐ, CT là $M\left(
{0;\frac{1}{2}{m^3}} \right)\,\,;\,\,N\left( {m;0} \right)$
$M, N$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x \Leftrightarrow   \frac{1}{2}{m^3} = m \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 ;m = 0$
Đối chiếu điều kiện ta rút ra kết luận. Vậy $m =  \pm \sqrt 2 $
$3.$ Pt hoành độ giao điểm: $x^3 – \frac{3}{2}mx^2 – x + \frac{1}{2}{m^3} = 0\,\,\,(1)$
Đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị tại $3$ điểm phân biệt $A, B, C$ khi và chỉ khi ($1$) có $3$ nghiệm $x_A; x_B; x_C$. Theo Viet ta có:
${x_A} + {x_B} + {x_C} = \frac{3}{2}m\,\,\,(2)$
Giả thiết: $AB = BC \Leftrightarrow 2{x_B} = {x_A} + {x_C}\,\,\,(3)$
 Từ ($2$) và ($3$) suy ra: ${x_B} = \frac{m}{2}$. Vậy $x = m/2$ là một nghiệm của pt ($1$)
Chia $f(x)$ cho $x – \frac{m}{2}$ ta được:
$f(x) = \left( {x – \frac{m}{2}} \right)\left( {x^2 – mx – 1 – \frac{{{m^2}}}{2}} \right) –
\frac{m}{2} + \frac{{{m^3}}}{4}$
$x = m/2$ là nghiệm của ($2$) $ \Leftrightarrow  – \frac{m}{2} + \frac{{{m^3}}}{4} = 0
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 0\\
m =  \pm \sqrt 2
\end{array} \right.$
Khi đó $f(x) = (x – m)\left( {{x^2} – mx – 1 – \frac{{{m^2}}}{2}} \right)$ có $3$ nghiệm phân
biệt vì $\varphi (x) = x^2 – mx – 1 – \frac{{{m^2}}}{2}$ có hai nghiệm trái dấu và có
$\varphi \left( {\frac{m}{2}} \right) =  – 1 – \frac{{3{m^2}}}{4} \ne 0\forall m$
$\Rightarrow  
$   $m = 0 ; m = \pm \sqrt 2 $