Đề: Cho hàm số:  $y = {x^2}(m – x) – m$                    (1)a) Chứng minh rằng đường thẳng $y = kx + k + 1$ luôn luôn cắt đường cong (1) tại một điểm cố định.b) Tìm $k$ theo $m$ để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt.c) Tìm $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x < 2$

Đề bài: Cho hàm số:  $y = {x^2}(m – x) – m$                    (1)a) Chứng minh rằng đường thẳng $y = kx + k + 1$ luôn luôn cắt đường cong (1) tại một điểm cố định.b) Tìm $k$ theo $m$ để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt.c) Tìm $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x < 2$

Lời giải

a) Dễ nhận thấy rằng $A( – 1{{ ; 1)}}$ là điểm cố định mà đường thẳng $y = kx + k + 1$ luôn đi qua.
Thế tọa độ của $A$ vào $(1)$ ta có $1 = (m + 1) – m$: đúng với mọi $m  $
$\Rightarrow A$ cũng là điểm cố định của đường cong $(1)$.
Vậy hai đường cắt nhau tại điểm cố định $A$.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = k(x + 1) + 1$ và đường cong $(1)$ là nghiệm của phương trình:  ${x^2}(m – x) – m = kx + k + 1$            $(2)$
Theo phần a) ta có $x = – 1$ là một nghiệm của $(2)$
Nên $(2) \Leftrightarrow (x + 1)\left[ {{x^2} – (m + 1)x + (m + k + 1)} \right] = 0$
Để đường thẳng cắt đường cong tại $3$ điểm phân biệt thì phương trình $f(x) = {x^2} – (m + 1)x + (m + k + 1) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt $ \ne – 1$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f( – 1) \ne 0\\
\Delta  = {(m + 1)^2} – 4(m + k + 1) > 0
\end{array} \right.{{   }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + k + 3 \ne 0\\
{m^2} – 2m – 4k – 3 > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k k \ne  – (2m + 3)
\end{array} \right.$

c) Để $(1)$ đồng biến trong $(1{{ ; 2)}}$ cần có
    $y’ = – 3{x^2} + 2mx \ge 0,{{ }}\forall {{x}} \in {{(1 ; 2)}}$
$ \Leftrightarrow 2mx \ge 3{x^2},{{ }}\forall {{x}} \in {{(1; 2)}}$
$ \Leftrightarrow m \ge 3x/2,\forall x \in (1{{ ; 2) }} \Leftrightarrow {{m}} \ge {{3}}$

Đáp số : ${{m}} \ge {{3}}$