Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x – \frac{1}{{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.

ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > – 1}\\ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0} \end{array}} \right.\)  

Khi đó ta có: \(y’ = 1 – \frac{{2.\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right]’}}{{\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{2}{{\ln 3\left( {x + 1} \right)\log _3^2\left( {x + 1} \right)}} > 0,\left( {\forall x > – 1} \right).\)  

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \((0;+\infty )\).  

Dựa vào bảng BBT suy ra PT đã cho có 2 nghiệm khi m>-1.