8. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(SD\), \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Giá trị \(\tan \alpha \) là:

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
8. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(SD\), \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Giá trị \(\tan \alpha \) là:

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\) .

B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\) .

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\) .

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .

Lời giải

Cách 1:

+) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DM\)và \(AB\). Ta có \(BM{\rm{//}}AD,BM = \frac{1}{2}AD \Rightarrow BM\)là đường trung bình của tam giác \(AID\) nên \(M\) là trung điểm của \(ID\). Suy ra \(MN{\rm{//}}\,SI\).

+) Ta có tứ giác \(BDCI\)là hình bình hành nên \(BD{\rm{// }}IC\), mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(IC \bot \left( {SAC} \right)\).

Suy ra hình chiếu của điểm \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là điểm \(C\).

+) Góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(SI\)và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\)cũng bằng góc giữa \(SI\) và \(SC\) hay góc \(\widehat {ISC} = \alpha \).

+) có \(SC = a\sqrt 3 ,IC = BD = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ \(O\) trùng với \(A\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a = 1\) 

Khi đó \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(C\left( {1\,;1;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\,1} \right)\)\( \Rightarrow M\left( {1;\,\frac{1}{2};\,0} \right),\,N\left( {0;\,\frac{1}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {BD}  = \left( { – 1;\,1;\,0} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = \left( { – 1;\,0;\,\frac{1}{2}} \right)\) .

Mà \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) nên \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}\).

Do đó \(\cos \alpha  = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\) \( \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)