6.  Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + 2m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng \(7\) điểm cực trị?

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
6.  Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + 2m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng \(7\) điểm cực trị?

A.\(2\). B.\(3\). C.\(1\). D.Vô số.

Lời giải

Chọn C

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right| + 2m} \right) = \left\{ \begin{array}{l}f\left( {x + 2m} \right)\;\;,\;khi\;x \ge 0\\f\left( { – x + 2m} \right),\;khi\;x < 0\end{array} \right.\)

Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)\( \Rightarrow \)Hàm số\(g\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)

Và ta lại có \(g\left( { – x} \right) = f\left( {\left| x \right| + 2m} \right) = g\left( x \right)\)\( \Rightarrow \)Hàm số\(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn\( \Rightarrow \)Đồ thị hàm số\(y = g\left( x \right)\) đối xứng qua trục \(Oy\).

Hàm số \(y = g\left( x \right)\)có \(7\) điểm cực trị\( \Leftrightarrow \)Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có \(3\) điểm cực trị dương, \(3\) điểm cực trị âm và một điểm cực trị bằng \(0\) (*)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\), ta có: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 3\\x =  – 1\\x = 2\\x = 5\end{array} \right.\)

Xét trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta được\(g\left( x \right) = f\left( {x + 2m} \right)\)

+ Ta có\(g’\left( x \right) = f’\left( {x + 2m} \right)\)

+ \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2m =  – 3\\x + 2m =  – 1\\x + 2m = 2\\x + 2m = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 2m – 3\\x =  – 2m – 1\\x =  – 2m + 2\\x =  – 2m + 5\end{array} \right.\)

+ Nhận thấy  \( – 2m – 3 <  – 2m – 1 <  – 2m + 2 <  – 2m + 5\)

Theo yêu cầu (*) bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2m – 1 > 0\\ – 2m – 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  – \frac{3}{2} \le m <  – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left\{ { – 1} \right\}\end{array} \right.\)