493. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0\,;\,1\,;\,9} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Lấy hai điểm \(M\); \(N\) trên \(\left( C \right)\) sao cho \(MN = 2\sqrt 5 \). Khi tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất thì đường thẳng \(MN\) đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?

Câu hỏi: 493. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0\,;\,1\,;\,9} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Lấy hai điểm \(M\); \(N\) trên \(\left( C \right)\) sao cho \(MN = 2\sqrt 5 \). Khi tứ diện \(OAMN\) có thể tích lớn nhất thì đường thẳng \(MN\) đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây? A. \(\left( {4\,;\,6\,;\,0} \right)\).

B. \(\left( {\frac{{49}}{5}\,;\,\frac{7}{5}\,;\,0} \right)\).

C. \(\left( {5\,;\, – 5\,;\,0} \right)\).

D. \(\left( {\frac{7}{5}\,;\,\frac{{49}}{5}\,;\,0} \right)\).

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;\,4\,;\,4} \right)\); bán kính \(R = 5\).

Do \(d\left( {I\,;\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\) nên \(\left( C \right)\) có tâm \(H\left( {3\,;\,4\,;\,0} \right)\); bán kính \(r = \sqrt {{5^2} – {4^2}} = 3\).

Do \(OH = 5 > 3 = r\) nên điểm \(O\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(MN\)\( \Rightarrow \)\(MK = \sqrt 5 \) và \(HK \bot MN\)\( \Rightarrow \)\(HK = \sqrt {H{M^2} – M{K^2}} = 2\).

Ta có: \(d\left( {A\,;\,\left( {OMN} \right)} \right) = d\left( {A\,;\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 9\).

Dễ thấy \(d\left( {O\,;\,MN} \right) \le OK \le OH + HK = 7\).

\( \Rightarrow \)\({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A\,;\,\left( {OMN} \right)} \right).{S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A\,;\,\left( {OMN} \right)} \right).\frac{1}{2}d\left( {O\,;\,MN} \right).MN \le \frac{1}{3}.9.\frac{1}{2}.7.2\sqrt 5 = 21\sqrt 5 \).

Dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow \)\(O\); \(H\); \(K\) thẳng hàng với \(H\) nằm giữa \(O\) và \(K\)\( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {OK} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \).

Khi đó \(K\left( {\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}\,;\,0} \right)\) và \(MN \bot OH\).

\( \Rightarrow \)Đường thẳng \(MN\) có một vector chỉ phương \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {4\,;\, – 3\,;\,0} \right)\).

Do đó phương trình đương thẳng \(MN\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{21}}{5} + 4t\\y = \frac{{28}}{5} – 3t\\z = 0\end{array} \right.\).

Dễ thấy đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(\left( {\frac{{49}}{5}\,;\,\frac{7}{5}\,;\,0} \right)\) (ứng với \(t = \frac{7}{5}\)).

=======