===============
37. Cho tứ diện đều có cạnh bằng
. Gọi 
, là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh , 
sao cho luôn vuông góc với mặt phẳng . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện . Tính .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đặt \(BM = x;\,BN = y\) ( Điều kiện: \(0 \le x,y \le 1\) ).
Gọi \(H\) là trọng tâm \(\Delta BCD\), suy ra \(AH \bot \left( {BCD} \right)\); \(AH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có: \({V_{ABMN}} = \frac{1}{3}AH.{S_{\Delta BMN}}\). Do đó \({V_{ABMN}}\) đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi và chỉ khi \({S_{\Delta BMN}}\) đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
Mà: \({S_{\Delta BMN}} = \frac{1}{2}xy.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}xy\). Suy ra: \({V_{ABMN}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.xy\).
Vì \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) nên\(AH \bot MN\) tại \(H\) hay \(H\) nằm giữa \(M\) và \(N\).
Do đó ta có \({S_{\Delta BMH}} + {S_{\Delta BHN}} = {S_{\Delta BMN}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}BM.BH.\sin 30^\circ + \frac{1}{2}BN.BH.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}xy\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.x.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.y.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}xy\) \( \Leftrightarrow x + y = 3xy\) \( \Leftrightarrow \left( {3x – 1} \right).y = x\) (*).
+) \(x = \frac{1}{3}\) thì (*) vô lý.
+) \(x \in \left[ {0;\,1} \right];\,x \ne \frac{1}{3}\) thì (*)\( \Leftrightarrow y = \frac{x}{{3x – 1}}\). Suy ra: \(xy = \frac{{{x^2}}}{{3x – 1}}\) .
Vì \(y \in \left[ {0;\,1} \right]\) nên \(\frac{x}{{3x – 1}} \in \left[ {0;\,1} \right]\). Mà \(x \in \left[ {0;\,1} \right];\,x \ne \frac{1}{3}\)suy ra \(x \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\).
Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{3x – 1}}\) với \(x \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\) có \(f’\left( x \right) = \frac{{3{x^2} – 2x}}{{{{\left( {3x – 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\\x = \frac{2}{3} \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\end{array} \right.\) .
Có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2};\,\,f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9};\,\,f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
Suy ra: \({V_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{24}}\) và \({V_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.\frac{4}{9} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\).
Vậy \({V_1} + {V_2} = \frac{{17\sqrt 2 }}{{216}}\).
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)