===============
34. Cho khối chóp \(S.ABCD\) có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 90. Gọi \(M,\,N,\,P,\,Q\) lần lượt là trọng tâm các mặt bên \(SAB,\,SBC,\,SCD\) và \(SDA\). Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm \(M,\,N,\,P,\,Q,\,B\,\) và \(D\) bằng.
A. \(81\).
B. \(50\).
C. \(40\).
D. \(75\).
Lời giải
+ \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.d\left( {S,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = 270\).
Gọi \(M’,\,N’,\,P’,\,Q’\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) với các cạnh bên \(SA,\,SB,\,SC,\,SD\).
Ta có, mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành suy ra tứ giác \(MNPQ\) và tứ giác \(M’N’P’Q’\) cũng là hình bình hành, \(M,\,N,\,P,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(M’N’,\,N’P’,\,P’Q’,\,Q’M’\).
+ \(V = {V_{MNPQBD}} = {V_{M’N’P’Q’.ABCD}} – {V_{B.MNN’}} – {V_{D.PQQ’}} – {V_{ABD.M’MQ}} – {V_{CBD.P’NP}}\).
* \(\frac{{SM’}}{{SA}} = \frac{{SN’}}{{SB}} = \frac{{SP’}}{{SC}} = \frac{{SQ’}}{{SD}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \frac{{{V_{S.M’N’P’Q’}}}}{{{V_{_{S.ABCD}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} \Rightarrow {V_{S.M’N’P’Q’}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}} = 80\).
\( \Rightarrow {V_{M’N’P’Q’.ABCD}} = 270 – 80 = 190\).
* \({S_{MNN’}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}{S_{M’P’N’}} = \frac{1}{4}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}.{S_{ACB}} = \frac{1}{9}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = 5\).
Tương tự, \({S_{MQM’}} = {S_{QPQ’}} = {S_{PNP’}} = 5\).
* \(d\left( {B,\left( {MNN’} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {PQQ’} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = 3\)
Suy ra, \({V_{B.MNN’}} = {V_{D.PQQ’}} = \frac{1}{3}\)\(d\left( {D,\left( {PQQ’} \right)} \right).{S_{QPQ’}} = 5\).
* Hai hình chóp cụt \(ABD.M’MQ\) và \(CBD.P’NP\) có \({S_{MQM’}} = {S_{PNP’}} = 5\), \({S_{BDA}} = {S_{BDC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = 45\), chiều cao \(h = \frac{1}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = 3.\)
Suy ra \({V_{ABD.M’MQ}} = {V_{CBD.P’NP}} = \frac{h}{3}\left( {{S_{MQM’}} + {S_{BDA}} + \sqrt {.{S_{BDA}}.{S_{MQM’}}} } \right) = \)65.
Vậy \(V = {V_{M’N’P’Q’.ABCD}} – {V_{B.MNN’}} – {V_{D.PQQ’}} – {V_{ABD.M’MQ}} – {V_{CBD.P’NP}} = 190 – 2.5 – 2.65 = 50\).
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)
Trả lời