33. Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(\widehat {SAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCS} = {90^0},AB = a,BC = a\sqrt 3 \) và góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(SC\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
33. Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(\widehat {SAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCS} = {90^0},AB = a,BC = a\sqrt 3 \) và góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(SC\).

A. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\). B.\(\frac{{a\sqrt {12} }}{{\sqrt {31} }}\). C.\(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

D. \(a\).

Lời giải

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABCD} \right)\). 

Khi đó \(\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBD} = {45^0} \Rightarrow SD = BD\).

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\\AB \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot AD.\)

Tương tự, \(BC \bot CD.\) Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật. Suy ra: \(SD = BD = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\).

Gọi \(N\) là trung điểm \(AD\). Ta có \(CN\,{\rm{//}}\,AM \Rightarrow \left( {SCN} \right)\,{\rm{//}}\,AM\). 

Suy ra \(d\left( {AM,SC} \right) = d\left( {AM,\left( {SCN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCN} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SCN} \right)} \right) = d\).

Do \(DN,SC,DS\) đôi một vuông góc với nhau nên: \(\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{S^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{31}}{{12{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {12} }}{{\sqrt {31} }}\).

Vậy \(d\left( {AM,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {12} }}{{\sqrt {31} }}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)