32. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết \(f\left( 1 \right)\, > 1\)và có đồ thị như hình vẽ dưới.

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
32. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) biết \(f\left( 1 \right)\, > 1\)và có đồ thị như hình vẽ dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { – 2020\,;\,2021} \right)\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( x \right) + \frac{3}{2}{f^2}\left( x \right) + m} \right|\) có \(9\) điểm cực trị .

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(0\)

D. \(4\)

Lời giải

Fb: Trung Nguyễn; Hanh Nguyen

Số cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^3}\left( x \right) + \frac{3}{2}{f^2}\left( x \right) + m} \right|\) bằng số cực trị của hàm số\(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) + \frac{3}{2}{f^2}\left( x \right) + m\) cộng với số giao điểm (khác điểm cực trị) của đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) + \frac{3}{2}{f^2}\left( x \right) + m\) và đường thẳng :\(y = 0\).

Xét hàm số :\(h\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) + \frac{3}{2}{f^2}\left( x \right) + m\). Có :\(h’\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f’\left( x \right) + 3f\left( x \right).f’\left( x \right) = 3f\left( x \right).f’\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]\)

\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f’\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = 1\\x = \alpha \,\,\,,\,\,\left( {\alpha  < 0} \right)\end{array} \right.\,\)(với \(x = 3\)là nghiệm bội 3).

Bảng biến thiên 

Ta có \(h\left( 1 \right) > \,\,m + \frac{1}{2}\). Nên để đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có \(9\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow \,\,\,m < \,\,0\,\, < m + \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{ – 1}}{2}\, < m\,\, < 0\). Đối chiếu điều kiện suy ra không có giá trị nào của \(m\).