3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O\), cạnh \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Biết rằng cạnh bên \(SA\) hợp với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(60^\circ \)và \(SO\) là đường cao của hình chóp. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp nói trên.

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O\), cạnh \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \). Biết rằng cạnh bên \(SA\) hợp với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(60^\circ \)và \(SO\) là đường cao của hình chóp. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp nói trên.

Lời giải

Ta có \(ABCD\)là hình chữ nhật tâm \(O\), cạnh \(AB = a\), \(BC = a\sqrt 3 \) nên \(AC = BD = 2a\); \(OA = OB = OC = OD = a\) và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\).

Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(\widehat {\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,BO} \right)} = \widehat {SBO} = 60^\circ \).

Do đó \(\Delta SBO\) là tam giác vuông tại \(O\) \(OB = a,\widehat {SBO} = 60^\circ \) \( \Rightarrow SO = OB.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \)và \(SB = 2a\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(SB\); 

Trong mp (SBD): kẻ \(Mx \bot SB\), \(Mx \cap SO = \left\{ I \right\}\) do đó \(MI\) là đường trung trực đoạn \(SB\) hay \(IB = IS\) (1).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = OC = OD = a\\I \in SO\end{array} \right.\)\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(I\)là tâm và \(R = SI\) là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) 

Ta có \(\Delta SMI \sim \Delta SOB\,\left( {g.g} \right)\) nên \(\frac{{SM}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SB}}\)\( \Rightarrow SI = \frac{{SM.SB}}{{SO}} = \frac{{S{B^2}}}{{2.SO}} = \frac{{4{a^2}}}{{2a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{32\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)