27. Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), \(SA = SB = SC = a\). \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính \(\sin \varphi \), với \(\varphi  = \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\,\left( {MAC} \right)}} \right)\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
27. Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), \(SA = SB = SC = a\). \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính \(\sin \varphi \), với \(\varphi  = \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\,\left( {MAC} \right)}} \right)\).

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SB\), \(O\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\).

Ta có \(OM{\rm{//}}SB\), \(OM \subset \left( {MAC} \right),\,SB \subset \left( {SBC} \right)\) suy ra giao tuyến \(d\) của \(\left( {MAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) đi qua \(C\) và song song với \(SB\) và \(OM\) (1)

Ta có \(CI \bot SB\,\)(vì \(\Delta SBC\)đều)\( \Rightarrow CI \bot d\) và \(CO \bot MO\) (vì \(\Delta MAC\) cân tại \(M\)) \( \Rightarrow CO \bot d\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {MAC} \right)\) là góc giữa \(IC\) và \(OC\) hay \(\widehat {ICO}\) (do \(\Delta ICO\) vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \widehat {ICO} < 90^\circ \)).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot MO\\CO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow CO \bot \left( {SBD} \right),\,IO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow CO \bot IO.\)

Xét \(\Delta COI\) vuông tại \(O\), ta có \(CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(OC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\) \( \Rightarrow IO = \sqrt {I{C^2} – O{C^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có \(\sin \varphi  = \sin \widehat {ICO} = \frac{{IO}}{{IC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)