21. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 6 \). Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \). Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.ABC\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
21. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 6 \). Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \). Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(2\sqrt 2 \).

D. \(2\sqrt 3 \).

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(AB,\,\,BC,\,\,AC\). 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot MH\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot SM\). Chứng minh tương tự ta được\(BC \bot SN,\,\,AC \bot SP\).

\(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC = AC\) \( \Rightarrow \)\({S_{\Delta SAB}} = {S_{\Delta SBC}} = {S_{\Delta SAC}} \Leftrightarrow SM = SN = SP\) \( \Rightarrow \Delta SHM = \Delta SHN = \Delta SHP \Rightarrow HM = HN = HP\). Khi đó điểm \(H\) hoặc là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) hoặc là tâm đường tròn bàng tiếp \(\Delta ABC\).

+) Trường hợp 1: Điểm \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\). 

Khi đó \(H\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), suy ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều với cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \).

Ta có \(AH = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 6 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 2 \). 

Và \(SH = \sqrt {S{A^2} – A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 4\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.4.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 3 \).

+) Trường hợp 2: Điểm \(H\) là tâm đường tròn bàng tiếp \(\Delta ABC\). 

Vì \(\Delta ABC\) đều nên không mất tính tổng quát , ta giả sử \(H\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(A\) của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \widehat {HBC} = 60^\circ \).

Ta có \(AN = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 6 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta BNH\) vuông tại \(N\)có \(HN = BN.\tan 60^\circ  = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AH = AN + NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \).

\(\cos 60^\circ  = \frac{{BN}}{{BH}} \Rightarrow BH = \frac{{BN}}{{\cos 60^\circ }} = \sqrt 6 \).

\(\Delta SHA\) vuông tai \(H\) và có \(AH = 3\sqrt 2  \Rightarrow SA > 3\sqrt 2 \).

Hình chóp \(S.ABC\) có một trong các cạnh bên bằng \(3\sqrt 2 \) \( \Rightarrow SB = SC = 3\sqrt 2 \).

Ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} – B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}  = 2\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.2\sqrt 3 .{\left( {\sqrt 6 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3\).

Ta có \(3 < 2\sqrt 3 \). 

Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(3\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)