18. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, thể tích là \(V\). Gọi \(M,\,N,\,P,\,Q\) lần lượt là trọng tâm các mặt \(SAB,SBC,\,SCD,\,SDA\) của hình chóp; \(O\) là giao điểm của \(AC,\,BD\). Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(O.MNQ\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
18. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, thể tích là \(V\). Gọi \(M,\,N,\,P,\,Q\) lần lượt là trọng tâm các mặt \(SAB,SBC,\,SCD,\,SDA\) của hình chóp; \(O\) là giao điểm của \(AC,\,BD\). Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(O.MNQ\).

Lời giải

Gọi \(E,\,F,\,I,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,BC,\,CD,\,DA\). 

Ta có \(SM = \frac{2}{3}SE,\,SN = \frac{2}{3}SF \Rightarrow MN = \frac{2}{3}EF\).

Tương tự ta có \(NP = \frac{2}{3}FI\).

Suy ra \({S_{NMPQ}} = \frac{4}{9}{S_{EFIJ}} = \frac{4}{9}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{2}{9}{S_{ABCD}}\).

Gọi \(O’\) là giao điểm của \(MP,\,NQ\). 

Dễ thấy \(O’ \in SO\) và \(SO’ = \frac{2}{3}SO \Rightarrow d\left( {S,\left( {MNPQ} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\).

Ta cũng có \(OO’ = \frac{1}{2}SO’\).

Do đó \(d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {S,\left( {MNPQ} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\).

Vậy \({V_{O.MNQ}} = \frac{1}{2}{V_{O.MNPQ}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right).{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right).\frac{2}{9}{S_{ABCD}}\)

\( = \frac{1}{{27}}.\frac{1}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}} = \frac{1}{{27}}V\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)