17. Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Gọi \(M,\,N\) là trung điểm của các cạnh \(AD,\,CD\) và \(P\) là điểm nằm trên cạnh \(BB’\) sao cho \(BP = 3PB’\)(như hình vẽ dưới). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích \({V_1},\,\,{V_2}\). Biết khối có thể tích \({V_1}\) chứa điểm \(A\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC

===============

17. Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Gọi \(M,\,N\) là trung điểm của các cạnh \(AD,\,CD\) và \(P\) là điểm nằm trên cạnh \(BB’\) sao cho \(BP = 3PB’\)(như hình vẽ dưới). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích \({V_1},\,\,{V_2}\). Biết khối có thể tích \({V_1}\) chứa điểm \(A\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\).

B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{25}}{{71}}\).

C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{8}\).

D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{25}}{{96}}\).

Lời giải

Gọi \(MN \cap AB = I;\,\,MN \cap BC = J\); Khi đó gọi \(PI \cap AA’ = E;\,\,PJ \cap CC’ = F\).

 Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \(4\).

+) Tính \({V_{P.BIJ}}\)

Có \(PB = \frac{3}{4}BB’ = 3\).

\(CJ = AM = \frac{1}{2}BC = 2;\,AI = AM = \frac{1}{2}BC = 2\)\( \Rightarrow BI = BJ = 6\)

+) Tính \({V_{E.AIM}}\)

Có \(\frac{{AE}}{{BP}} = \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}PB = \frac{1}{3}.3 = 1\).

\(AI = AM = \frac{1}{2}BC = 2\)

.

Ta có : \({V_1}\) = \({V_{P.BIJ}} – 2{V_{E.AIM}} = 18 – \frac{4}{3} = \frac{{50}}{3}\).

Mặt khác \({V_2} = {V_{ABCD.A’B’C’D’}} – {V_1} = {4^3} – \frac{{50}}{3} = \frac{{142}}{3}\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{{50} \mathord{\left/

 {\vphantom {{50} 3}} \right.

 \kern-\nulldelimiterspace} 3}}}{{{{142} \mathord{\left/

 {\vphantom {{142} 3}} \right.

 \kern-\nulldelimiterspace} 3}}} = \frac{{25}}{{71}}\).

=================

CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)