===============
15. Gọi \({S_0}\) là diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) . Cho biết \(AB = 5\sqrt 2 ;BC = 6;CD = 2\sqrt 5 ;AD = 3\sqrt {10} ;d\left( {B,AC} \right) = d\left( {D,AC} \right)\) . Khi \({S_0}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
A. \(42\).
B. \(70\).
C. \(56\).
D. \(77\).
Lời giải
Cách 1 :
+ \({S_{BAC}} = {S_{DAC}} \Rightarrow \frac{1}{2}.BA.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.DA.DC.\sin \widehat {ADC} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {{180}^0}}\\{\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\;(L)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp trong một đường tròn .
+ \(\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} – 2.BA.BC.\cos \widehat {ABC}\\A{C^2} = D{A^2} + D{C^2} – 2DA.DC.\cos \widehat {ADC}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B{A^2} + B{C^2} – 2.BA.BC.\cos \widehat {ABC} = D{A^2} + D{C^2} – 2DA.DC.\cos \widehat {ADC}\)
\( \Rightarrow 86 – 60\sqrt 2 .\cos \widehat {ABC} = 110 + 60\sqrt 2 .\cos \widehat {ABC} \Rightarrow \cos \widehat {ABC} = \frac{{ – \sqrt 2 }}{{10}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \widehat {ABC} = \frac{7}{{5\sqrt 2 }}\\AC = 7\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow {R_{ABC}} = \frac{{AC}}{{2.\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{7\sqrt 2 }}{{\frac{{2.7}}{{5\sqrt 2 }}}} = 5\) .
+ Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\) , \(h = d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow R_S^2 = {h^2} + R_{ABC}^2 \Rightarrow {R_S} \ge {R_{ABC}}\) .
\({S_0}\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow {R_S} = {R_{ABC}} = 5\) . Khi đó đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD\) là đường tròn lớn của mặt cầu\(\left( S \right)\) \( \Rightarrow \max d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = {R_S} = 5\) .
+ \(\max {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.{R_S} = \frac{1}{3}.2.{S_{ABC}}.{R_S} = \frac{1}{3}.5\sqrt 2 .6.\frac{7}{{5\sqrt 2 }}.5 = 70\)
Cách 2 : Trắc nghiệm .
+ Xét tứ giác \(ABCD\) có \(p = \frac{{a + b + c + d}}{2};{S_{ABCD}} = \sqrt {\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)\left( {p – d} \right)} = 42\) .
+ \({R_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {\left( {ab + cd} \right)\left( {ac + bd} \right)\left( {ad + bc} \right)} }}{{4S}} = 5\) .
+ \(\max {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.R.S = 70\)
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)