14. Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(BC’\) và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khi \(\sin \varphi \) đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
14. Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(BC’\) và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khi \(\sin \varphi \) đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

A. \(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{4}\).

B. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

C. \(\frac{{\sqrt[4]{{12}}{a^3}}}{{4\sqrt 3 }}\).

D. \(\frac{{\sqrt[4]{{27}}{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}\).

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C’\) trên mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khi đó góc giữa đường thẳng \(BC’\) và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) là \(\widehat {HBC’} = \varphi \) và \(\sin \varphi  = \frac{{HC’}}{{BC’}}\) \(\left( 1 \right)\).

Đặt \(AA’ = h \Rightarrow BC’ = \sqrt {{a^2} + {h^2}} \) \(\left( 2 \right)\).

Ta có \(HC’ = \frac{{3{V_{C’.A’BC}}}}{{{S_{A’BC}}}}\)\( = \frac{{3{V_{A’.BCC’B’}}}}{{2{S_{A’BC}}}}\)\( = \frac{{{V_{ABC.A’B’C’}}}}{{{S_{A’BC}}}}\)\( = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h}}{{{S_{A’BC}}}}\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). 

Do \(ABC.A’B’C’\) là hình lăng trụ tam giác đều nên \(BC \bot AM\), \(BC \bot AA’\) \( \Rightarrow BC \bot A’M\).

Suy ra \({S_{A’BC}} = \frac{1}{2}BC.A’M\)\( = \frac{1}{2}a.\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + {h^2}} \). Khi đó \(HC’ = \frac{{ah\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} }}\) \(\left( 3 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\sin \varphi  = \frac{{ah\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} \sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\varphi  = \frac{{3{a^2}{h^2}}}{{\left( {3{a^2} + 4{h^2}} \right)\left( {{a^2} + {h^2}} \right)}}\).

Đặt \({h^2} = t\,\left( {t > 0} \right)\)\( \Rightarrow {\sin ^2}\varphi  = \frac{{3{a^2}t}}{{\left( {3{a^2} + 4t} \right)\left( {{a^2} + t} \right)}}\)\( = \frac{{3{a^2}t}}{{4{t^2} + 7{a^2}t + 3{a^4}}}\)\( = \frac{{3{a^2}}}{{4t + 7{a^2} + \frac{{3{a^4}}}{t}}}\).

Do \(t > 0\) nên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có \(4t + \frac{{3{a^4}}}{t} \ge 4{a^2}\sqrt 3 \).

Suy ra \({\sin ^2}\varphi  = \frac{{3{a^2}}}{{t + 7{a^2} + \frac{{3{a^4}}}{t}}}\)\( \le \frac{{3{a^2}}}{{4{a^2}\sqrt 3  + 7{a^2}}}\)\( = \frac{3}{{4\sqrt 3  + 7}}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(4t = \frac{{3{a^4}}}{t}\)\( \Rightarrow t = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó \({V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{{a^3}\sqrt[4]{{27}}}}{{4\sqrt 2 }}\).

Vậy khi \(\sin \varphi \) đạt giá trị lớn nhất thì \({V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{{\sqrt[4]{{27}}{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)