Xét các số thực x, y thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){.4^x}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x – y + 1}}\)

Câu hỏi:

Xét các số thực x, y thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){.4^x}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x – y + 1}}\) gần nhất với số nào dưới đây

A. 1
B.2
C.3
D.4

Lời giải tham khảo:

Nhận xét \({x^2} + {y^2} – 2x + 2 > 0\forall x;y\)

Bất phương trình \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){.4^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^2} + {y^2} + 1}}}}{{{2^{2x}}}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} – 2x + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right)\)

Đặt \(t = {x^2} + {y^2} – 2x + 1\)

Bất phương trình \( \Leftrightarrow {2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} – t – 1 \le 0\)

Đặt \(f\left( t \right) = {2^t} – t – 1\). Ta thấy \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\).

Ta có \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 – 1\)

\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {2^t}\ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) \approx 0,52\)

Quan sát BBT ta thấy \(f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 1\)

\(0 \le {x^2} + {y^2} – 2x + 1 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \le 1(1)\)

Xét \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x – y + 1}} \Leftrightarrow 2Px – Py + P = 8x + 4\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow P – 4 = \left( {8 – 2P} \right)x + Py\\
\Leftrightarrow P – 4 + 2P – 8 = \left( {8 – 2P} \right)x + 2P – 8 + Py\\
\Leftrightarrow 3P – 12 = \left( {8 – 2P} \right)\left( {x – 1} \right) + Py\\
\Leftrightarrow {\left( {3P – 12} \right)^2} = {\left[ {\left( {8 – 2P} \right)\left( {x – 1} \right) + Py} \right]^2} \le \left[ {{{\left( {8 – 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} \right]
\end{array}\)

Thế (1) vào ta có \({\left( {3P – 12} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {8 – 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4{P^2} – 40P + 80 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 5 – \sqrt 5 \le P \le 5 + \sqrt 5 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{8 – 2P}}{P} = \frac{{x – 1}}{y} = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}\\
{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 1
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}y\\
{\left( {\frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}y} \right)^2} = 1
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 = \frac{{ – 2}}{{\sqrt 5 }}y\\
y = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3}\\
y = \frac{{\sqrt 5 }}{3}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{3}\\
y = \frac{{ – \sqrt 5 }}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(5 – \sqrt 5 \approx 2,76\) gần giá trị 3 nhất.