Xét các số thực \(x\), \(y\) \(\left( {x \ge 0} \right)\) thỏa mãn \({2018^{x + 3y}} + {2018^{xy + 1}} + x + 1 = {2018^{ – xy – 1}} + \frac{1}{{{{2018}^{x + 3y}}}} – y\left( {x + 3} \right)\). Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = x + 2y\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(m \in \left( {0;1} \right)\). B. \(m \in \left( {1;2} \right)\). C. \(m \in \left( {2;3} \right)\). D. \(m \in \left( { – 1;0} \right)\).

Xét các số thực \(x\), \(y\) \(\left( {x \ge 0} \right)\) thỏa mãn
\({2018^{x + 3y}} + {2018^{xy + 1}} + x + 1 = {2018^{ – xy – 1}} + \frac{1}{{{{2018}^{x + 3y}}}} – y\left( {x + 3} \right)\).
Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = x + 2y\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m \in \left( {0;1} \right)\). B. \(m \in \left( {1;2} \right)\). C. \(m \in \left( {2;3} \right)\). D. \(m \in \left( { – 1;0} \right)\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có \({2018^{x + 3y}} + {2018^{xy + 1}} + x + 1 = {2018^{ – xy – 1}} + \frac{1}{{{{2018}^{x + 3y}}}} – y\left( {x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {2018^{x + 3y}} – {2018^{ – x – 3y}} + x + 3y = {2018^{ – xy – 1}} – {2018^{xy + 1}} – xy – 1\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2018^t} – {2018^{ – t}} + t\), với \(t \in \mathbb{R}\) ta có
\(f’\left( t \right) = {2018^t}\ln 2018 + {2018^{ – t}}\ln 2018 + 1 > 0\), \(\forall t \in \mathbb{R}\).
Do đó \(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( {x + 3y} \right) = f\left( { – xy – 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 3y = – xy – 1\)
\( \Leftrightarrow y\left( {x + 3} \right) = – x – 1\)\( \Rightarrow y = – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)\( \Rightarrow T = x – \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 3}}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x – \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 3}}\), với \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\) có
\(f’\left( x \right) = 1 – \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = – \frac{2}{3}\).
Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0\) \( \Rightarrow m = – \frac{2}{3}\).