ĐỀ BÀI:
Xét các số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt[4]{{ab}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 4y\) là \({P_{\min }} = \frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m,\,n \in \mathbb{N}\), khi đó giá trị của biểu thức \(T = {m^2} + n\) có giá trị bằng bao nhiêu?
A. \(79\).
B. \(25\).
C. \(34\).
D. \(85\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận
Theo bài ta có, \({a^x} = {b^y} = \sqrt[4]{{ab}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^x} = {a^{\frac{1}{4}}}.{b^{\frac{1}{4}}}\\{b^y} = {a^{\frac{1}{4}}}.{b^{\frac{1}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{x – \frac{1}{4}}} = {b^{\frac{1}{4}}}\\{b^{y – \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}{\log _a}b\\y – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}{\log _b}a\end{array} \right.\).
Do đó, \(P = x + 4y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b + 1 + {\log _b}a = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b + {\log _b}a\).
Đặt \(t = {\log _a}b\). Vì \(a,\,b > 1\) nên \({\log _a}b > {\log _a}1 = 0\). Suy ra: \(t = {\log _a}b > 0\).
Áp dụng
B. Đ.T Cô si cho 2 số dương \(\frac{1}{4}t\) và \(\frac{1}{t}\) ta có \(\frac{1}{4}t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt {\frac{1}{4}t.\frac{1}{t}} \)
Khi đó, \(P = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}t + \frac{1}{t} \ge \frac{5}{4} + 2\sqrt {\frac{1}{4}t.\frac{1}{t}} = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}\).
Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{9}{4}\) khi \(\frac{1}{4}t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t = 2\) hay \({\log _a}b = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}\).
Suy ra, \({a^x} = {a^{2y}} = \sqrt[4]{{{a^3}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y = \frac{3}{8}\end{array} \right.\).
Khi đó, \(m = 9,\,n = 4 \Rightarrow T = 85\).
– Tư duy + Casio + Mẹo { Tư duy ngược }
| A. \(79 = {m^2} + n\) | B. \(25 = {m^2} + n\) | C. \(34 = {m^2} + n\) | D. \(85 = {m^2} + n\) | ||||
| \(m = 8\) | \(n = 15\) | \(m = 4\) | \(n = 9\) | \(m = 5\) | \(n = 9\) | \(m = 9\) | \(n = 4\) |
| \( \Rightarrow P = \frac{8}{{15}} \approx 0.53\) | \( \Rightarrow P = \frac{4}{9} \approx 0.\left( 4 \right)\) | \( \Rightarrow P = \frac{5}{9} \approx 0.\left( 5 \right)\) | \( \Rightarrow P = \frac{9}{4} \approx 2.25\) |
Cho \(a = b = 1.01 > 1 \Rightarrow {a^x} = \sqrt[4]{{ab}} \Leftrightarrow {1.01^x} = {1.01^y} = \sqrt[4]{{1.0201}} \Leftrightarrow x = y = 0.5\).
Suy ra \(P = x + 4y = 0.5 + 4 \times 0.5 = 2.5 = 2.5\).
Bảng giá trị trên là rút ra \(m,\,n\) tư duy ngược từ dữ kiện đề.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========
Trả lời