• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Xét các số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt[4]{{ab}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 4y\) là \({P_{\min }} = \frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m,\,n \in \mathbb{N}\), khi đó giá trị của biểu thức \(T = {m^2} + n\) có giá trị bằng bao nhiêu?

Đăng ngày: 01/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit Tag với:HAM SO MU VDC, Logarit nang cao, TN THPT 2021

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Xét các số thực dương \(a,\,b,\,x,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt[4]{{ab}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 4y\) là \({P_{\min }} = \frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản và \(m,\,n \in \mathbb{N}\), khi đó giá trị của biểu thức \(T = {m^2} + n\) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. \(79\). 

B. \(25\). 

C. \(34\). 

D. \(85\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận

Theo bài ta có, \({a^x} = {b^y} = \sqrt[4]{{ab}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^x} = {a^{\frac{1}{4}}}.{b^{\frac{1}{4}}}\\{b^y} = {a^{\frac{1}{4}}}.{b^{\frac{1}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{x – \frac{1}{4}}} = {b^{\frac{1}{4}}}\\{b^{y – \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}{\log _a}b\\y – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}{\log _b}a\end{array} \right.\).

Do đó, \(P = x + 4y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b + 1 + {\log _b}a = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}{\log _a}b + {\log _b}a\).

Đặt \(t = {\log _a}b\). Vì \(a,\,b > 1\) nên \({\log _a}b > {\log _a}1 = 0\). Suy ra: \(t = {\log _a}b > 0\).

Áp dụng 

B. Đ.T Cô si cho 2 số dương \(\frac{1}{4}t\) và \(\frac{1}{t}\) ta có \(\frac{1}{4}t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt {\frac{1}{4}t.\frac{1}{t}} \)

Khi đó, \(P = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}t + \frac{1}{t} \ge \frac{5}{4} + 2\sqrt {\frac{1}{4}t.\frac{1}{t}}  = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}\).

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{9}{4}\) khi \(\frac{1}{4}t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t = 2\) hay \({\log _a}b = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}\).

Suy ra, \({a^x} = {a^{2y}} = \sqrt[4]{{{a^3}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y = \frac{3}{8}\end{array} \right.\).

Khi đó, \(m = 9,\,n = 4 \Rightarrow T = 85\).

– Tư duy + Casio + Mẹo { Tư duy ngược }

A. \(79 = {m^2} + n\)B. \(25 = {m^2} + n\)C. \(34 = {m^2} + n\)D. \(85 = {m^2} + n\)
\(m = 8\)\(n = 15\)\(m = 4\)\(n = 9\)\(m = 5\)\(n = 9\)\(m = 9\)\(n = 4\)
\( \Rightarrow P = \frac{8}{{15}} \approx 0.53\)\( \Rightarrow P = \frac{4}{9} \approx 0.\left( 4 \right)\)\( \Rightarrow P = \frac{5}{9} \approx 0.\left( 5 \right)\)\( \Rightarrow P = \frac{9}{4} \approx 2.25\)

Cho \(a = b = 1.01 > 1 \Rightarrow {a^x} = \sqrt[4]{{ab}} \Leftrightarrow {1.01^x} = {1.01^y} = \sqrt[4]{{1.0201}} \Leftrightarrow x = y = 0.5\).

Suy ra \(P = x + 4y = 0.5 + 4 \times 0.5 = 2.5 = 2.5\).

Bảng giá trị trên là rút ra \(m,\,n\) tư duy ngược từ dữ kiện đề.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit Tag với:HAM SO MU VDC, Logarit nang cao, TN THPT 2021

Bài liên quan:

  1. Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\log_{3} \frac{\left(x^{2}-4 x\right)^{2}}{4096}<\log_{2} \frac{x^{2}-4 x}{27}$ ?
  2. Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn \(\log {2}\left(x^{2}+y^{2}+4 x\right)+\log {3}\left(x^{2}+y^{2}\right) \leq \log {2} x+\log {3}\left(15 x^{2}+15 y^{2}+48 x\right) ?\)
  3. Đề toán 2022 [2H3-2.3-3] Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1; – 1} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa trục \(Oy\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất. Phương trình của \(\left( P \right)\) là

  4. Đề toán 2022 [2D2-4.4-4]  Xét tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({49^{9 – {y^2}}} \ge {a^{4x – {{\log }_7}{a^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x – 3y\) bằng.

  5. Đề toán 2022 Xét tất cả các số thực \(x,y\)sao cho \({27^{5 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_3}{a^3}}}\)với số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 4x + 8y\)bằng

  6. Đề toán 2022 Xét tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({8^{9 – {y^2}}} \ge {a^{6x – {{\log }_2}{a^3}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 6x – 8y\) bằng

  7. Đề toán 2022 [Mức độ 4] Xét tất cả các số thực  \(x,y\) sao cho \({a^{4x – {{\log }_5}{a^2}}} \le {25^{40 – {y^2}}}\) với mọi số thực dương \(a\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + x – 3y\) bằng

  8. Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 16} \right) < 0?\)

  9. Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn\(\left( {{4^b} – 1} \right)\left( {a{{.3}^b} – 10} \right) < 0\)

  10. Đề toán 2022 [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng ba số nguyên \(b\) thoả mãn \(\left( {{3^b} – 3} \right)\left( {a{{.2}^b} – 18} \right) < 0\)?

  11. Đề toán 2022 [2D2-6.1-3] Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{5^b} – 1} \right)\left( {a{{.2}^b} – 5} \right) < 0\)

  12. 39 câu trắc nghiệm VDC Mũ – Logarit
  13. Cắt hình trụ \((T)\) bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(2a\) , ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bẳng \(16{a^2}\) . Diện tích xung quanh của \((T)\) bằng

  14. Xét các số phức \(z\) và \(w\) thay đổi thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 3\) và \(\left| {z – w} \right| = 3\sqrt 2 \) . Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z + 1 + i} \right| + \left| {w – 2 + 5i} \right|\) bằng
  15. Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có cạnh bên bằng \(2a\) , góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.