[VDC – Xác suất 2020] Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số được có đúng bốn chữ số lẻ sao cho chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ bằng

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$ . Xác suất để số được có đúng bốn chữ số lẻ sao cho chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ bằng

A. $\dfrac{5}{542}$
B. $\dfrac{5}{42}$
C. $\dfrac{5}{648}$
D.$\dfrac{5}{54}$

Lời giải:

Tập hợp các chữ số tự nhiên là $\left\{{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9}\right\}$
Gọi số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau là $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9}$
hữ số cho $a_1$ có 9 cách.
Xếp 8 chữ số trong 9 chữ số còn lại vào 8 vị trí có $A_9^8$ cách.
Vậy số phần tử của tập $S$ là $n\left(S\right)=9.A_9^8$
Gọi $A$ là biến cố “số được ó đúng bốn chữ số lẻ sao cho chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ”.
Chọn 4 chữ số lẻ trong 5 chữ số lẻ có $C_5^4$ .
Chọn 2 chữ số lẻ trong 4 chữ số lẻ vừa chọn để số 0 đứng giữa có $C_4^2$ cách.
Chọn 2 vị trí để xếp 2 số lẻ vừa chọn ở trên có 7 cách.
Xếp 2 chữ số lẻ vào 2 vị trí vừa ó $2!$ cách.
Xếp số 0 vào giữa 2 chữ số lẻ trên có 1 cách.
Còn lại 2 chữ số lẻ và 4 chữ số chẵn, ta xếp vào 6 vị trí còn lại có $6!$ cách.

Vậy số phần tử của $A$ là $n\left(A\right)=C_5^4.C_4^2.7.2!.6!$

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\dfrac{C_5^4.C_4^2.7.2!.6!}{9.A_9^8}=\dfrac{5}{54}$