Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(H\left( {1;\,2;\,1} \right)\), \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) . Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(H\) và cắt các trục \(Ox,\,Oy,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\)đến \(\left( \alpha \right)\).

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(H\left( {1;\,2;\,1} \right)\), \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) . Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(H\) và cắt các trục \(Ox,\,Oy,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\)đến \(\left( \alpha \right)\).

A. \(d\left( {M;\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 6 \).

B. \(d\left( {M;\left( \alpha \right)} \right) = \frac{5}{3}\).

C. \(d\left( {M;\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 3 \).

D. \(d\left( {M;\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các trục \(Ox,\,Oy,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {0;\,b\,;0} \right)\), \(C\left( {0;\,0;\,c} \right)\). Do \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(a,b,c \ne 0\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Mà \(H\left( {1;\,2;\,1} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên: \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\) \(\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AH} = \left( {1 – a;\,2;1} \right)\), \(\overrightarrow {BH} = \left( {1;\,2 – b;\,1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;\, – b;\,c} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { – a;\,0;\,c} \right)\).

Lại có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{c}{2}\\a = c\end{array} \right.\) \((2)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\frac{1}{c} + \frac{2}{{\frac{c}{2}}} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 6\), khi đó \(a = 6,\,b = 3\).

Vậy \(A\left( {6;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {0;\,3;0} \right)\), \(C\left( {0;\,0;\,6} \right)\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + z – 6 = 0\).

\(d\left( {M;\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 3 – 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ