Trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau? a) Điểm $M\left(0;0;5\right)$ thuộc trục $Oz$.

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau? a) Điểm $M\left(0;0;5\right)$ thuộc trục $Oz$. b) Điểm $N\left(-3;1;0\right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. c) Hình chiếu vuông góc của $P\left(4;5;-5\right)$ lên trục $Ox$ là $P^{\prime}\left(4;0;0\right)$. d) Hình chiếu vuông góc của $Q\left(-1;-5;1\right)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $Q^{\prime}\left(0;-5;1\right)$.
💡 Lời giải: (Đúng) Điểm $M\left(0;0;5\right)$ thuộc trục $Oz$. (Đúng) Điểm $N\left(-3;1;0\right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. (Đúng) Hình chiếu vuông góc của $P\left(4;5;-5\right)$ lên trục $Ox$ là $P^{\prime}\left(4;0;0\right)$. (Đúng) Hình chiếu vuông góc của $Q\left(-1;-5;1\right)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $Q^{\prime}\left(0;-5;1\right)$. (Đúng) Điểm $M\left(0;0;5\right)$ thuộc trục $Oz$. (Đúng) Điểm $N\left(-3;1;0\right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. (Đúng) Hình chiếu vuông góc của $P\left(4;5;-5\right)$ lên trục $Ox$ là $P^{\prime}\left(4;0;0\right)$. (Đúng) Hình chiếu vuông góc của $Q\left(-1;-5;1\right)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $Q^{\prime}\left(0;-5;1\right)$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài tập cơ bản về Tọa độ trong không gian Oxyz, kiểm tra kiến thức về vị trí của một điểm đối với các trục tọa độ ($Ox, Oy, Oz$) và các mặt phẳng tọa độ ($(Oxy), (Oyz), (Oxz)$), cùng với khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm lên các trục và mặt phẳng tọa độ. Phương pháp giải dựa trên quy tắc: một điểm $M(x; y; z)$ thuộc trục/mặt phẳng nào thì các tọa độ không liên quan phải bằng 0. Ví dụ: $M$ thuộc trục $Ox
e y=0, z=0$. Hình chiếu vuông góc của $M(x; y; z)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $M'(x; y; 0)$.

Bài toán tương tự

1. Trong không gian $Oxyz$, xét điểm $A
e(5; 0; -2)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$.
B. Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.
C. Điểm $A$ thuộc trục $Ox$.
D. Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$.
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Điểm $A(5; 0; -2)$ có tọa độ $y=0$, nên $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oxz)$.

2. Cho điểm $B
e(-3; 6; 1)$. Hình chiếu vuông góc của $B$ lên trục $Oy$ là điểm nào sau đây?
A. $B_1(-3; 0; 1)$.
B. $B_2(0; 6; 1)$.
C. $B_3(-3; 6; 0)$.
D. $B_4(0; 6; 0)$.
Đáp án đúng: D. Lời giải ngắn gọn: Hình chiếu vuông góc của $B(x; y; z)$ lên trục $Oy$ là $B'(0; y; 0)$. Vậy $B’ = (0; 6; 0)$.

3. Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$?
A. $M(2; 1; 0)$.
B. $N(0; -5; 3)$.
C. $P(0; 0; 4)$.
D. $Q(1; 0; 2)$.
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ phải có tọa độ $x=0$. Cả N và P đều có $x=0$, nhưng N(-5; 3) là đáp án tổng quát hơn (P là trường hợp đặc biệt, thuộc cả trục $Oz$). Tuy nhiên, P(0; 0; 4) cũng đúng. Chọn N(-5; 3).

4. Cho điểm $D
e(1; -4; 7)$. Gọi $D_1$ là hình chiếu của $D$ lên mặt phẳng $(Oxy)$, và $D_2$ là hình chiếu của $D$ lên trục $Oz$. Tính khoảng cách $D_1D_2$.
A. $\sqrt{66}$.
B. $2\sqrt{17}$.
C. $\sqrt{17}$.
D. $3\sqrt{10}$.
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $D_1$ là hình chiếu lên $(Oxy)$ là $D_1(1; -4; 0)$. $D_2$ là hình chiếu lên $Oz$ là $D_2(0; 0; 7)$. Khoảng cách $D_1D_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (-4-0)^2 + (0-7)^2} = \sqrt{1 + 16 + 49} = \sqrt{66}$. (Kiểm tra lại đáp án: $\sqrt{66} \approx 8.12$. Không có trong đáp án A, B, C, D. Sửa lại đáp án A thành $\sqrt{66}$). Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: $D_1(1; -4; 0)$, $D_2(0; 0; 7)$. $D_1D_2 = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1+16+49} = \sqrt{66}$.

5. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Điểm $M
e(0; -2; 0)$ thuộc trục $Oy$.
b) Hình chiếu vuông góc của $N
e(3; 1; -5)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $N’
e(3; 0; -5)$.
c) Điểm $P
e(1; 4; 0)$ thuộc trục $Ox$.
d) Điểm $Q
e(0; 0; 0)$ không thuộc mặt phẳng $(Oyz)$.
Đáp án: a) Đúng (vì $x=0, z=0$). b) Đúng (vì hình chiếu lên $(Oxz)$ giữ nguyên $x, z$ và đặt $y=0$). c) Sai (vì $y=4
e 0$). d) Sai (vì $Q$ là gốc tọa độ, thuộc mọi mặt phẳng tọa độ).