Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(4;1;-4\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên trục $Oy$ sao cho $MM’$ ngắn nhất
A. $M’\left(-4;1;4\right)$ B. $M’\left(0;1;0\right)$ C. $M’\left(0;-1;0\right)$ D. $M’\left(4;-1;-4\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên trục tọa độ, nhằm mục đích tối thiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm (khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng chính là đoạn thẳng nối điểm đó với hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng). Phương pháp giải: Nếu điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ chiếu lên trục $Ox$ ta được $M'(x_0; 0; 0)$; chiếu lên trục $Oy$ ta được $M'(0; y_0; 0)$; chiếu lên trục $Oz$ ta được $M'(0; 0; z_0)$.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho $M left(5;-2;3 right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên trục $Oy$ sao cho $MM’$ ngắn nhất.
A. $M’ left(5;0;3 right)$ B. $M’ left(0;3;0 right)$ C. $M’ left(0;-2;0 right)$ D. $M’ left(5;-2;0 right)$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Điểm $M’$ nằm trên trục $Oy$ và là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $Oy$. Tọa độ của $M’$ là $ left(0; y_M; 0 right)$, tức là $M’ left(0;-2;0 right)$.
2. Trong không gian $Oxyz$, cho $N left(-1;5;7 right)$. Tìm tọa độ điểm $N’$ trên trục $Ox$ sao cho $NN’$ ngắn nhất.
A. $N’ left(-1;0;0 right)$ B. $N’ left(0;5;0 right)$ C. $N’ left(0;0;7 right)$ D. $N’ left(-1;5;0 right)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Điểm $N’$ là hình chiếu của $N$ lên trục $Ox$. Tọa độ của $N’$ là $ left(x_N; 0; 0 right)$, tức là $N’ left(-1;0;0 right)$.
3. Trong không gian $Oxyz$, cho $P left(6;-3;1 right)$. Tìm tọa độ điểm $P’$ trên trục $Oz$ sao cho $PP’$ ngắn nhất.
A. $P’ left(6;0;0 right)$ B. $P’ left(0;-3;0 right)$ C. $P’ left(6;-3;1 right)$ D. $P’ left(0;0;1 right)$.
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Điểm $P’$ là hình chiếu của $P$ lên trục $Oz$. Tọa độ của $P’$ là $ left(0; 0; z_P right)$, tức là $P’ left(0;0;1 right)$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho $Q left(2;-4;8 right)$. Tìm tọa độ điểm $Q’$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ sao cho $QQ’$ ngắn nhất.
A. $Q’ left(2;0;0 right)$ B. $Q’ left(0;-4;8 right)$ C. $Q’ left(2;-4;0 right)$ D. $Q’ left(0;0;8 right)$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Khoảng cách từ $Q$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ nhỏ nhất khi $Q’$ là hình chiếu vuông góc của $Q$ lên $(Oxy)$. Hình chiếu lên $(Oxy)$ có cao độ bằng 0. Vậy $Q’ left(2;-4;0 right)$.
5. Trong không gian $Oxyz$, cho $R left(-7;1;5 right)$. Tìm tọa độ điểm $R’$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$ sao cho $RR’$ ngắn nhất.
A. $R’ left(-7;1;0 right)$ B. $R’ left(0;1;5 right)$ C. $R’ left(-7;0;5 right)$ D. $R’ left(0;0;5 right)$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Khoảng cách từ $R$ đến mặt phẳng $(Oyz)$ nhỏ nhất khi $R’$ là hình chiếu vuông góc của $R$ lên $(Oyz)$. Hình chiếu lên $(Oyz)$ có hoành độ bằng 0. Vậy $R’ left(0;1;5 right)$.