Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(1;-2;-1\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên trục $Ox$ sao cho $MM’$ ngắn nhất
A. $M’\left(0;-2;-1\right)$ B. $M’\left(1;0;0\right)$ C. $M’\left(1;2;1\right)$ D. $M’\left(-1;-2;-1\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một trục tọa độ. Khoảng cách MM’ ngắn nhất khi và chỉ khi M’ là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox. Phương pháp giải chung: Nếu M(x_0, y_0, z_0) và M’ là hình chiếu vuông góc của M lên trục tọa độ:
– Hình chiếu lên Ox: M'(x_0, 0, 0).
– Hình chiếu lên Oy: M'(0, y_0, 0).
– Hình chiếu lên Oz: M'(0, 0, z_0).
Bài toán tương tự
{
“danh_sach_bai_toan”: [
{
“stt”: “**Câu 1**”,
“de_bai”: “Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; -4; 5). Tìm tọa độ điểm M’ trên trục Oz sao cho khoảng cách MM’ đạt giá trị nhỏ nhất.”,
“loai”: “Trắc nghiệm”,
“phuong_an”: “A. M'(3; 0; 5) B. M'(0; 0; 5) C. M'(3; -4; 0) D. M'(0; -4; 0)”,
“dap_an”: “Đáp án đúng: B. M'(0; 0; 5)”,
“giai_thich_ngan”: “Khoảng cách MM’ nhỏ nhất khi M’ là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz. Tọa độ hình chiếu của M(3; -4; 5) lên Oz là M'(0; 0; 5).”
},
{
“stt”: “**Câu 2**”,
“de_bai”: “Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 1; 6). Tìm tọa độ điểm A’ thuộc trục Oy sao cho AA’ có độ dài ngắn nhất.”,
“loai”: “Trắc nghiệm”,
“phuong_an”: “A. A'(0; 1; 0) B. A'(-2; 0; 6) C. A'(0; 0; 6) D. A'( -2; 1; 0)”,
“dap_an”: “Đáp án đúng: A. A'(0; 1; 0)”,
“giai_thich_ngan”: “A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy. Tọa độ hình chiếu của A(-2; 1; 6) lên Oy là A'(0; 1; 0).”
},
{
“stt”: “**Câu 3**”,
“de_bai”: “Trong không gian Oxyz, cho điểm P(5; 7; -1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm H.”,
“loai”: “Trắc nghiệm”,
“phuong_an”: “A. H(0; 7; -1) B. H(5; 7; 0) C. H(5; 0; -1) D. H(0; 0; -1)”,
“dap_an”: “Đáp án đúng: B. H(5; 7; 0)”,
“giai_thich_ngan”: “Hình chiếu vuông góc của P(5; 7; -1) lên mặt phẳng (Oxy) giữ nguyên hoành độ, tung độ và cho z=0. Vậy H(5; 7; 0).”
},
{
“stt”: “**Câu 4**”,
“de_bai”: “Trong không gian Oxyz, cho điểm N(-6; 2; 3). Gọi K là điểm trên trục Ox sao cho khoảng cách NK nhỏ nhất. Tính độ dài đoạn NK nhỏ nhất đó.”,
“loai”: “Tự luận”,
“dap_an”: “Đáp án: 13.”,
“giai_thich_ngan”: “K là hình chiếu vuông góc của N lên trục Ox, suy ra K(-6; 0; 0). Độ dài NK là khoảng cách từ N đến K: NK = sqrt((-6 – (-6))^2 + (2 – 0)^2 + (3 – 0)^2) = sqrt(0 + 4 + 9) = sqrt(13).”
},
{
“stt”: “**Câu 5**”,
“de_bai”: “Cho điểm D(4; -5; -2). Điểm E nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ điểm E sao cho DE là ngắn nhất và tìm khoảng cách DE ngắn nhất đó.”,
“loai”: “Tự luận”,
“dap_an”: “Đáp án: E(0; -5; 0); Khoảng cách DE = 2sqrt(5).”,
“giai_thich_ngan”: “Để DE ngắn nhất, E phải là hình chiếu vuông góc của D lên trục Oy. Tọa độ E(0; -5; 0). Khoảng cách DE = sqrt((4-0)^2 + (-5 – (-5))^2 + (-2 – 0)^2) = sqrt(16 + 0 + 4) = sqrt(20) = 2sqrt(5).”
}
]
}