Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(-3;7;5\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên trục $Oz$ sao cho $MM’$ ngắn nhất

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(-3;7;5\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ trên trục $Oz$ sao cho $MM’$ ngắn nhất
A. $M’\left(3;-7;5\right)$ B. $M’\left(0;0;-5\right)$ C. $M’\left(-3;7;-5\right)$ D. $M’\left(0;0;5\right)$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán tìm hình chiếu vuông góc (điểm gần nhất) của một điểm lên một trục tọa độ. Điểm $M’$ trên trục $Ox$ có dạng $(x’, 0, 0)$, trên $Oy$ có dạng $(0, y’, 0)$, và trên $Oz$ có dạng $(0, 0, z’)$. Khoảng cách $MM’$ ngắn nhất khi $M’$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục đó. Nếu $M(x_0; y_0; z_0)$, thì hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$ là $M'(x_0; 0; 0)$, lên trục $Oy$ là $M'(0; y_0; 0)$, và lên trục $Oz$ là $M'(0; 0; z_0)$.

Bài toán tương tự

1. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; -5; 4)$. Tìm tọa độ điểm $A’$ trên trục $Ox$ sao cho khoảng cách $AA’$ ngắn nhất.
A. $A'(0; -5; 4)$ B. $A'(1; 5; -4)$ C. $A'(0; 0; 4)$ D. $A'(1; 0; 0)$.
Đáp án đúng: D.
Giải thích: Điểm $A’$ trên trục $Ox$ gần $A$ nhất là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $Ox$. $A'(1; 0; 0)$.

2. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $B(-2; 3; 1)$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của $B$ lên trục $Oy$ là:
A. $B'(0; 3; 0)$ B. $B'(2; -3; -1)$ C. $B'(-2; 0; 1)$ D. $B'(0; 0; 1)$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Hình chiếu vuông góc của $B(-2; 3; 1)$ lên trục $Oy$ giữ nguyên tung độ và đặt hoành độ, cao độ bằng 0. $B'(0; 3; 0)$.

3. Trong không gian $Oxyz$, cho $C(6; -1; -8)$. Tìm tọa độ điểm $C’$ trên trục $Oz$ sao cho $CC’$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $C'(6; -1; 0)$ B. $C'(0; -1; 0)$ C. $C'(0; 0; -8)$ D. $C'(-6; 1; 8)$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: Điểm $C’$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $Oz$. $C'(0; 0; -8)$.

4. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $D(4; 2; -7)$. Tìm tọa độ điểm $D’$ trên trục $Ox$ sao cho $DD’$ ngắn nhất.
A. $D'(0; 2; -7)$ B. $D'(4; 0; 0)$ C. $D'(0; 0; -7)$ D. $D'(4; 2; 0)$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Điểm $D’$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $Ox$. $D'(4; 0; 0)$.

5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E(-10; 5; 3)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm $E$ đến trục $Oy$.
A. $5$ B. $\sqrt{109}$ C. $\sqrt{10}$ D. $10$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Khoảng cách ngắn nhất từ $E$ đến trục $Oy$ là độ dài đoạn $EE’$, với $E’$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $Oy$. $E’ (0; 5; 0)$. Khoảng cách $d(E, Oy) = EE’ = \sqrt{(-10-0)^2 + (5-5)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{100 + 0 + 9} = \sqrt{109}$.