Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(-2;7;7\right)$. Tìm tọa độ điểm $M’$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$
A. $M’\left(-2;7;0\right)$ B. $M’\left(2;-7;0\right)$ C. $M’\left(2;-7;7\right)$ D. $M’\left(-2;7;-7\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán cơ bản về phép đối xứng (phép phản xạ) của một điểm qua các mặt phẳng tọa độ trong không gian Oxyz. Quy tắc chung là:
- Đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) (có phương trình $z=0$): $M(x_0; y_0; z_0) \to M'(x_0; y_0; -z_0)$ (giữ nguyên $x, y$, đổi dấu $z$).
- Đối xứng qua mặt phẳng (Oyz) (có phương trình $x=0$): $M(x_0; y_0; z_0) \to M'(-x_0; y_0; z_0)$ (giữ nguyên $y, z$, đổi dấu $x$).
- Đối xứng qua mặt phẳng (Oxz) (có phương trình $y=0$): $M(x_0; y_0; z_0) \to M'(x_0; -y_0; z_0)$ (giữ nguyên $x, z$, đổi dấu $y$).
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(3; -1; 5\right)$. Tìm tọa độ điểm $A’$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.
A. $A’\left(-3; -1; 5\right)$ B. $A’\left(3; 1; 5\right)$ C. $A’\left(3; -1; -5\right)$ D. $A’\left(-3; 1; -5\right)$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x=0$. Điểm đối xứng $A'(x’, y’, z’)$ sẽ có $x’=-x$, còn $y’=y$ và $z’=z$. Do đó, $A(3; -1; 5) \to A'(-3; -1; 5)$.
2. Trong không gian $Oxyz$, tìm tọa độ điểm $B’$ đối xứng với điểm $B\left(1; 2; -4\right)$ qua mặt phẳng $(Oxz)$.
A. $B’\left(1; 2; 4\right)$ B. $B’\left(-1; -2; 4\right)$ C. $B’\left(1; -2; -4\right)$ D. $B’\left(-1; 2; -4\right)$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y=0$. Điểm đối xứng $B’$ sẽ có $y’=-y$, còn $x’=x$ và $z’=z$. Do đó, $B(1; 2; -4) \to B'(1; -2; -4)$.
3. Trong không gian $Oxyz$, cho $C\left(5; -3; -6\right)$. Tọa độ điểm $C’$ đối xứng với $C$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ là:
A. $C’\left(5; 3; 6\right)$ B. $C’\left(5; -3; 6\right)$ C. $C’\left(-5; 3; 6\right)$ D. $C’\left(-5; -3; -6\right)$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Đối xứng qua $(Oxy)$, ta đổi dấu tọa độ $z$. $C(5; -3; -6) \to C'(5; -3; -(-6)) = C'(5; -3; 6)$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $D\left(-4; 0; 1\right)$. Hãy tìm tọa độ điểm $D’$ đối xứng với $D$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.
Đáp án: $D’\left(4; 0; 1\right)$.
Lời giải ngắn gọn: Điểm $D’$ đối xứng với $D$ qua $(Oyz)$ (mặt phẳng $x=0$) nên ta giữ nguyên $y, z$ và đổi dấu $x$. $D(-4; 0; 1) \to D'(-(-4); 0; 1) = D'(4; 0; 1)$.
5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left(-10; 8; -2\right)$. Tìm tọa độ điểm $E’$ đối xứng với $E$ qua mặt phẳng $(Oxz)$.
A. $E’\left(10; -8; 2\right)$ B. $E’\left(-10; -8; -2\right)$ C. $E’\left(-10; 8; 2\right)$ D. $E’\left(10; 8; 2\right)$.
Đáp án đúng: B.
Giải thích: Đối xứng qua mặt phẳng $(Oxz)$ (mặt phẳng $y=0$), ta đổi dấu tọa độ $y$. $E(-10; 8; -2) \to E'(-10; -8; -2)$.