Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(4;7;3\right),B\left(1;3;-2\right), C\left(-11;m;n\right)$. Tính $m+n$ biết $A, B, C$ thẳng hàng
A. $-35$ B. $-38$ C. $-33$ D. $-32$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán xác định tọa độ của một điểm chưa biết trong không gian Oxyz dựa trên điều kiện ba điểm thẳng hàng. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng điều kiện cùng phương của hai vectơ tạo bởi ba điểm đó. Cụ thể, ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$ với $k$ là một số thực khác 0. Từ đó, ta thiết lập hệ phương trình theo tọa độ và giải để tìm các ẩn số.
Bài toán tương tự
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1; 2; 3\right), B\left(3; 5; 7\right), C\left(a; b; 15\right)$. Tính $a+b$ biết $A, B, C$ thẳng hàng.
A. 15 B. 18 C. 20 D. 22.
Đáp án đúng: B. 18.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AB} = \left(2; 3; 4\right)$, $\vec{AC} = \left(a-1; b-2; 12\right)$. Vì $A, B, C$ thẳng hàng nên $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$. Từ thành phần z: $12 = k \cdot 4 \Rightarrow k = 3$. Khi đó: $a-1 = 3 \cdot 2 = 6 \Rightarrow a = 7$. $b-2 = 3 \cdot 3 = 9 \Rightarrow b = 11$. Vậy $a+b = 7+11 = 18$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-1; 0; 2\right), B\left(2; -3; 8\right), C\left(8; m; n\right)$. Tính giá trị của biểu thức $2m+n$ biết $A, B, C$ thẳng hàng.
A. 2 B. 4 C. 0 D. 1.
Đáp án đúng: A. 2.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AB} = \left(3; -3; 6\right)$, $\vec{AC} = \left(9; m; n-2\right)$. Vì $A, B, C$ thẳng hàng nên $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$. Từ thành phần x: $9 = k \cdot 3 \Rightarrow k = 3$. Khi đó: $m = 3 \cdot (-3) = -9$. $n-2 = 3 \cdot 6 = 18 \Rightarrow n = 20$. Vậy $2m+n = 2(-9) + 20 = -18 + 20 = 2$.
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(5; 1; -2\right), B\left(3; 3; 0\right), C\left(x; y; 4\right)$. Tính giá trị của tích $x \cdot y$ biết $A, B, C$ thẳng hàng.
A. 7 B. -7 C. -1 D. 1.
Đáp án đúng: B. -7.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AB} = \left(-2; 2; 2\right)$, $\vec{BC} = \left(x-3; y-3; 4\right)$. Vì $A, B, C$ thẳng hàng nên $\vec{BC} = k \cdot \vec{AB}$. Từ thành phần z: $4 = k \cdot 2 \Rightarrow k = 2$. Khi đó: $x-3 = 2 \cdot (-2) = -4 \Rightarrow x = -1$. $y-3 = 2 \cdot 2 = 4 \Rightarrow y = 7$. Vậy $x \cdot y = (-1) \cdot 7 = -7$.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(2; -1; 4\right), B\left(5; 5; 1\right), C\left(m; n; -5\right)$. Tính giá trị của biểu thức $m-n$ biết $A, B, C$ thẳng hàng.
A. -4 B. 6 C. -6 D. -8.
Đáp án đúng: C. -6.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AB} = \left(3; 6; -3\right)$, $\vec{AC} = \left(m-2; n+1; -9\right)$. Vì $A, B, C$ thẳng hàng nên $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$. Từ thành phần z: $-9 = k \cdot (-3) \Rightarrow k = 3$. Khi đó: $m-2 = 3 \cdot 3 = 9 \Rightarrow m = 11$. $n+1 = 3 \cdot 6 = 18 \Rightarrow n = 17$. Vậy $m-n = 11 – 17 = -6$.
Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left(1; -2; 3\right), N\left(3; -1; 5\right), P\left(a; b; 1\right)$. Biết $M, N, P$ thẳng hàng. Tính tọa độ $a$ và $b$.
Đáp án: $a = -1, b = -3$.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{MN} = \left(2; 1; 2\right)$, $\vec{MP} = \left(a-1; b+2; -2\right)$. Vì $M, N, P$ thẳng hàng nên $\vec{MP} = k \cdot \vec{MN}$. Từ thành phần z: $-2 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -1$. Khi đó: $a-1 = -1 \cdot 2 = -2 \Rightarrow a = -1$. $b+2 = -1 \cdot 1 = -1 \Rightarrow b = -3$. Tọa độ cần tìm là $a=-1$ và $b=-3$.