Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-3;2;-1\right),M\left(8;7;-5\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $A$ đối xứng với $B$ qua $M$.
A. $B\left(-11;-5;4\right)$ B. $B\left(19;12;-9\right)$ C. $B\left(11;5;-4\right)$ D. $B\left(-13;-16;11\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm tọa độ của một điểm khi biết điểm đó đối xứng với một điểm khác qua một điểm cho trước. Điểm đối xứng (M) đóng vai trò là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm (A và B). Phương pháp giải là áp dụng công thức trung điểm: Nếu M là trung điểm của AB, ta có $x_M = (x_A + x_B)/2$, $y_M = (y_A + y_B)/2$, $z_M = (z_A + z_B)/2$. Từ đó suy ra công thức tìm tọa độ điểm B: $B = 2M – A$, tức là $x_B = 2x_M – x_A$, $y_B = 2y_M – y_A$, $z_B = 2z_M – z_A$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho $A
(1; 2; 3)$ và $M
(4; 5; 6)$. Tìm tọa độ điểm $B$ sao cho $A$ đối xứng với $B$ qua $M$.
A. $B
(3; 3; 3)$ B. $B
(5; 7; 9)$ C. $B
(7; 8; 9)$ D. $B
(-3; -3; -3)$.
Đáp án đúng: C. $B
(7; 8; 9)$.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $B = 2M – A$. $x_B = 2(4) – 1 = 7$, $y_B = 2(5) – 2 = 8$, $z_B = 2(6) – 3 = 9$.
**2. (Tự luận)** Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $P
(5; -4; 0)$ và $Q
(-1; 2; -3)$. Tìm tọa độ điểm $R$ biết $P$ đối xứng với $R$ qua $Q$.
Đáp án: $R
(-7; 8; -6)$.
Lời giải ngắn gọn: $Q$ là trung điểm của $PR$. $x_R = 2x_Q – x_P = 2(-1) – 5 = -7$. $y_R = 2y_Q – y_P = 2(2) – (-4) = 8$. $z_R = 2z_Q – z_P = 2(-3) – 0 = -6$.
**3. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho $C
(0; -10; 5)$ và $D
(-2; 0; 1)$. Tìm tọa độ điểm $E$ sao cho $C$ đối xứng với $E$ qua $D$.
A. $E
(-2; 5; 3)$ B. $E
(-4; 10; -3)$ C. $E
(4; -10; 3)$ D. $E
(2; -5; -3)$.
Đáp án đúng: B. $E
(-4; 10; -3)$.
Lời giải ngắn gọn: $x_E = 2(-2) – 0 = -4$. $y_E = 2(0) – (-10) = 10$. $z_E = 2(1) – 5 = -3$.
**4. (Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho $K
(-1; -2; -3)$. Tìm tọa độ điểm $L$ biết rằng điểm $M
(3; 4; 5)$ là trung điểm của đoạn thẳng $KL$.
A. $L
(7; 10; 13)$ B. $L
(4; 6; 8)$ C. $L
(5; 6; 7)$ D. $L
(-5; -8; -11)$.
Đáp án đúng: A. $L
(7; 10; 13)$.
Lời giải ngắn gọn: $x_L = 2(3) – (-1) = 7$. $y_L = 2(4) – (-2) = 10$. $z_L = 2(5) – (-3) = 13$.
**5. (Tự luận)** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $X
(7; 1; 9)$. Tìm tọa độ điểm $Y$ đối xứng với $X$ qua gốc tọa độ $O
(0; 0; 0)$.
Đáp án: $Y
(-7; -1; -9)$.
Lời giải ngắn gọn: Điểm $Y$ đối xứng với $X$ qua gốc tọa độ $O$ khi $O$ là trung điểm $XY$. $x_Y = 2(0) – 7 = -7$. $y_Y = 2(0) – 1 = -1$. $z_Y = 2(0) – 9 = -9$. (Điểm đối xứng qua $O$ là điểm có tọa độ đối lập).