Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-2;3;1\right), B\left(6;-3;-1\right), C\left(-3;-2;5\right)$ và điểm $M$ bất kỳ

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-2;3;1\right), B\left(6;-3;-1\right), C\left(-3;-2;5\right)$ và điểm $M$ bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=2{\overrightarrow{MA}}^{2}-4{\overrightarrow{MB}}^{2}+3{\overrightarrow{MC}}^{2}$.
A. $-1999$ B. $-1993$ C. $-1997$ D. $-1996$
💡 Lời giải: Tìm điểm $I$ thỏa mãn $2{\overrightarrow{IA}}-4{\overrightarrow{IB}}+3{\overrightarrow{IC}}=\vec{0}$, ta được: $I\left(-37;12;21\right)$ Khi đó, $P=2{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})}^{2}-4{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})}^{2}+3{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})}^{2}$. $={\overrightarrow{MI}}^{2}+2{\overrightarrow{IA}}^{2}-4{\overrightarrow{IB}}^{2}+3{\overrightarrow{IC}}^{2}+2{\overrightarrow{MI}}.(2{\overrightarrow{IA}}-4{\overrightarrow{IB}}+3{\overrightarrow{IC}})$. $={\overrightarrow{MI}}^{2}+2{\overrightarrow{IA}}^{2}-4{\overrightarrow{IB}}^{2}+3{\overrightarrow{IC}}^{2}$. Thỏa mãn yêu cầu khi $M$ trùng với $I$. Khi đó, $P_{\min}=2{{IA}}^{2}-4{{IB}}^{2}+3{{IC}}^{2}=-1996$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của hàm mục tiêu có dạng $P = k_1 MA^2 + k_2 MB^2 + k_3 MC^2$ với A, B, C là các điểm cố định và M là điểm bất kỳ.
Phương pháp giải: Sử dụng biến đổi vector bằng cách chèn điểm $I$ sao cho $k_1\overrightarrow{IA} + k_2\overrightarrow{IB} + k_3\overrightarrow{IC} = \vec{0}$.
Khi đó, biểu thức P được đưa về dạng $P = (k_1+k_2+k_3) MI^2 + P_I$, trong đó $P_I = k_1 IA^2 + k_2 IB^2 + k_3 IC^2$ là giá trị cố định.
– Nếu $K = k_1+k_2+k_3 > 0$, $P_{\min}$ đạt được khi $M \equiv I$ và $P_{\min} = P_I$.
– Nếu $K = k_1+k_2+k_3 < 0$, $P_{\max}$ đạt được khi $M \equiv I$ và $P_{\max} = P_I$.
(Nếu K=0, P là hằng số hoặc không có cực trị toàn cục).

Bài toán tương tự

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 1; 1), B(-1; -1; -1), C(2; 2; 2)$ và điểm $M$ bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3{\overrightarrow{MA}}^{2}+3{\overrightarrow{MB}}^{2}+2{\overrightarrow{MC}}^{2}$.
A. 32 B. 36 C. 40 D. 44

**Đáp án đúng: B.**
Lời giải: Ta có các hệ số $k_1=3, k_2=3, k_3=2$. Tổng $K=3+3+2=8 > 0$. Ta tìm $P_{\min}$.
Tìm điểm $I$ sao cho $3\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\vec{0}$.
$I = \frac{3A+3B+2C}{8}$. $I(\frac{3(1)+3(-1)+2(2)}{8}; \frac{3+3(-1)+2(2)}{8}; \frac{3+3(-1)+2(2)}{8}) = I(\frac{4}{8}; \frac{4}{8}; \frac{4}{8}) = I(1/2; 1/2; 1/2)$.
$P_{\min} = 3IA^2 + 3IB^2 + 2IC^2$.
$IA^2 = (1-1/2)^2 \times 3 = 3/4$. $IB^2 = (-1-1/2)^2 \times 3 = 27/4$. $IC^2 = (2-1/2)^2 \times 3 = 27/4$.
$P_{\min} = 3(3/4) + 3(27/4) + 2(27/4) = (9 + 81 + 54)/4 = 144/4 = 36.