Trong không gian cho điểm $H$ và bốn điểm $ABCD$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ

Bài toán gốc

Trong không gian cho điểm $H$ và bốn điểm $ABCD$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $B,C,D,A$ tạo thành hình bình hành là:
A. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HA}$. B. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{0}$. C. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HA}$. D. $\overrightarrow{HB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{HC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HA}$.
💡 Lời giải: $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HA}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HA}$, Phải là : $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HA}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tìm điều kiện cần và đủ để bốn điểm tạo thành một hình bình hành (hoặc xác định vị trí tương đối) thông qua mối quan hệ vectơ liên quan đến một điểm H bất kỳ trong không gian. Phương pháp giải là chuyển đổi điều kiện hình học (ví dụ: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ cho hình bình hành $BCDA$) về dạng vectơ sử dụng điểm H bằng quy tắc hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{HY} – \overrightarrow{HX}$. Điều kiện $BCDA$ là hình bình hành tương đương với hai đường chéo $CA$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $M$, dẫn đến đẳng thức vectơ $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HD}$ (vì cả hai vế đều bằng $2\overrightarrow{HM}$).

Bài toán tương tự

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A$ và $B$ và một điểm $H$ bất kì. Điều kiện cần và đủ để điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là:
A. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HI}$. B. $\overrightarrow{HA} – \overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HI}$. C. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HI}$. D. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HI} = \overrightarrow{HB}$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: $I$ là trung điểm của $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$. Chèn điểm $H$: $(\overrightarrow{HA} – \overrightarrow{HI}) + (\overrightarrow{HB} – \overrightarrow{HI}) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = 2\overrightarrow{HI}$.

Câu 2: Trong không gian, cho tam giác $ABC$ và điểm $H$ bất kỳ. Điều kiện cần và đủ để $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ là:
A. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = 3\overrightarrow{HG}$. B. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{HG}$. C. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$. D. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{HG}$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $G$ là trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. Chèn điểm $H$: $(\overrightarrow{HA} – \overrightarrow{HG}) + (\overrightarrow{HB} – \overrightarrow{HG}) + (\overrightarrow{HC} – \overrightarrow{HG}) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = 3\overrightarrow{HG}$.

Câu 3: Trong không gian, cho bốn điểm $A, B, C, D$ không thẳng hàng và điểm $H$ bất kỳ. Điều kiện cần và đủ để $ABDC$ tạo thành hình bình hành là:
A. $\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD}$. B. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HD}$. C. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HD}$. D. $\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HD} = 2\overrightarrow{HC} + 2\overrightarrow{HA}$.
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $ABDC$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Áp dụng quy tắc hiệu vectơ với điểm $H$: $\overrightarrow{HB} – \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{HD} – \overrightarrow{HC} \Leftrightarrow \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD}$.

Câu 4: Trong không gian, cho bốn điểm $A, B, C, D$ và điểm $H$ bất kì. Điều kiện cần và đủ để $ACBD$ tạo thành hình bình hành là:
A. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HD}$. B. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD} = \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC}$. C. $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HD}$. D. $\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD}$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: $ACBD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$. Áp dụng quy tắc hiệu vectơ với điểm $H$: $\overrightarrow{HC} – \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{HB} – \overrightarrow{HD} \Leftrightarrow \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HD}$.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A, B, C, D$ và điểm $H$ bất kỳ. Biết rằng điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{MC}$. Mối liên hệ vectơ giữa $H$ và $M$ là:
A. $\overrightarrow{HA} + 3\overrightarrow{HB} = 4\overrightarrow{HC}$. B. $\overrightarrow{HA} + 3\overrightarrow{HB} = 4\overrightarrow{HC} + 4\overrightarrow{HM}$. C. $\overrightarrow{HA} + 3\overrightarrow{HB} – 4\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$. D. $\overrightarrow{HA} + 3\overrightarrow{HB} – 4\overrightarrow{HC} = 4\overrightarrow{HM}$.
Đáp án đúng: C.
Giải thích: Sử dụng quy tắc chèn điểm $H$: $(\overrightarrow{HA} – \overrightarrow{HM}) + 3(\overrightarrow{HB} – \overrightarrow{HM}) = 4(\overrightarrow{HC} – \overrightarrow{HM})$. Triển khai và rút gọn: $\overrightarrow{HA} + 3\overrightarrow{HB} – 4\overrightarrow{HM} = 4\overrightarrow{HC} – 4\overrightarrow{HM}$. $\Leftrightarrow \overrightarrow{HA} + 3\overrightarrow{HB} – 4\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$.