Câu hỏi:
Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 4 ,n thuộc N) , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó, có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 201mặt phẳng phân biệt.
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Số cách chọn 3 điểm trong 2n điểm phân biệt đã cho là \(
C_{2n}^3\)
Số cách chọn 3 điểm trong n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là \(
C_n^3\)
Số mặt phẳng được tạo ra từ 2n điểm đã cho là \(
C_{2n}^3 – C_n^3 + 1\)
Như vậy \(\begin{array}{l}
C_{2n}^3 – C_n^3 + 1 = 201 \Leftrightarrow \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n – 3} \right)!}} – \frac{{n!}}{{3!\left( {n – 3} \right)!}} + 1 = 201\\
\Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2n – 1} \right)\left( {2n – 2} \right)}}{6} – \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)}}{6} = 200\\
\Leftrightarrow 2n\left( {2n – 1} \right)\left( {2n – 2} \right) – n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right) = 1200\\
\Leftrightarrow \left( {n – 6} \right)\left( {7{n^2} + 33n + 200} \right) = 0 \Leftrightarrow 7{n^3} – 9{n^2} + 2n – 1200 = 0\\
\Leftrightarrow n = 6
\end{array}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời