Trên mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $25\,{{\text{m}}^{2}}$, người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ

Trên mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $25\,{{\text{m}}^{2}}$, người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là $A$ và $H$, với $H$thuộc cạnh $BD.$ Hỏi số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ (miền tô đậm) là bao nhiêu ( làm tròn đến nghìn đồng) với chi phí trồng cỏ là $70.000$đồng/${{\text{m}}^{2}}$ ?

Lời giải

Đáp án: 438

Ta có $AB.AD=25\left( {{m}^{2}} \right)$;$\frac{NH}{AB}=\frac{DN}{DA}$.

Đặt $\frac{NH}{AB}=\frac{DN}{DA}=x\Rightarrow NH=x.AB;AN=\left( 1-x \right)AD$

Diện tích đất trồng cỏ là: $S=AN.NH=x.\left( 1-x \right).AB.AD=25.x.\left( 1-x \right)$

Diện tích lớn nhất khi $x.\left( 1-x \right)$ lớn nhất mà $x.\left( 1-x \right)\le \frac{{{\left( x+1-x \right)}^{2}}}{4}=\frac{1}{4}$

Diện tích đất trồng cỏ lớn nhất$S=\frac{1}{4}.25=\frac{25}{4}$

Số tiền lớn nhất để trồng cỏ:$T=\frac{25}{4}.70000=437500$(đồng) $\approx 438$( nghìn đồng)