Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m – 2} \right)x – 3m\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\)

Câu hỏi:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} – \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {m – 2} \right)x – 3m\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\)

A. \(\frac{{ – 1}}{4} \le m < 0\).

B. \(m \le – \frac{1}{4}\).

C. \(m < 0\).

D. \(m > 0\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT .

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Với \(m = 0 \Rightarrow y = – {x^2} – 2x\) hàm số này là một parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên khoảng\(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\), do đó \(m = 0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với \(m \ne 0\)thì \(y’ = m{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + m – 2\).

Hàm số nghịch biến trên\(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\) thì \(y’ \le 0\), \(\forall x \in ( – \infty ; + \infty )\)

\( \Leftrightarrow \)\(m{x^2} – 2m(m + 1)x + m – 2 \le 0\),\(\forall x \in ( – \infty ; + \infty )\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{(m + 1)^2} – m(m – 2) \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + 2m + 1 – {m^2} + 2m \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4m + 1 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le – \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \le – \frac{1}{4}\).

Vậy \(m \le – \frac{1}{4}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tính đơn điệu của hàm số