Tìm số giao điểm của đồ thị $(C):y=-x^3-x^2+19x+42$ và $d:y=-2x-3$.

Bài toán gốc

Tìm số giao điểm của đồ thị $(C):y=-x^3-x^2+19x+42$ và $d:y=-2x-3$.

A. 1.B. 2.C. 3.D. 0.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng toán: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số đa thức bậc ba $y=f(x)$ và đường thẳng $y=g(x)$. Phương pháp giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình này chính là số giao điểm cần tìm. Đối với phương trình bậc ba, ta thường nhẩm nghiệm đơn giản (ví dụ: các ước của hệ số tự do) để phân tích nhân tử, hoặc sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm.

Bài toán tương tự

Tìm số giao điểm của đồ thị $(C): y = x^3 – 2x^2 – 4x + 2$ và đường thẳng $d: y = x – 4$.

A. 1.B. 2.C. 3.D. 0.

Đáp án đúng: C. 3.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^3 – 2x^2 – 4x + 2 = x – 4 \Leftrightarrow x^3 – 2x^2 – 5x + 6 = 0$.\Ta nhẩm được nghiệm $x=1$. Chia đa thức, ta có: $(x-1)(x^2 – x – 6) = 0$.\Phương trình $x^2 – x – 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $x=3$ và $x=-2$.\Vì phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thực phân biệt ($x=1, x=3, x=-2$), nên đồ thị và đường thẳng cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.