Cho $(C):y=\dfrac{2x-2}{-x+2}$. Biết tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $-1$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A, B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

Bài toán gốc

Cho $(C):y=\dfrac{2x-2}{-x+2}$. Biết tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $-1$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A, B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

A. $4$.B. $\dfrac{7}{3}$.C. $3$.D. $\dfrac{10}{3}$.

Lời giải: Tiếp tuyến $d:y=\dfrac{2}{9}x-\dfrac{14}{9}$.
$A\left(2;-\dfrac{2}{3}\right),B\left(-4;-2\right)$.
$S_{\Delta OAB}=\dfrac{10}{3}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số hữu tỉ $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, cụ thể là tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại một điểm M và hai đường tiệm cận (ngang và đứng) của đồ thị. Phương pháp giải chung bao gồm: 1. Xác định phương trình hai đường tiệm cận (VA và HA). 2. Tính đạo hàm $f'(x)$ và xác định hệ số góc $k = f'(x_0)$. 3. Viết phương trình tiếp tuyến $d$. 4. Tìm tọa độ giao điểm A, B của tiếp tuyến $d$ với VA và HA. 5. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ): $S = \dfrac{1}{2}|x_A y_B – x_B y_A|$.

Bài toán tương tự

{“cau_1”:{“de_bai”:”Cho đồ thị hàm số $(C):y=\dfrac{x+1}{x-1}$. Biết tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=2$ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.”,”dap_an”:”A. 7. B. 8. C. 6. D. 9.”,”dap_an_dung”:”A.”,”loi_giai_ngan_gon”:”VA: $x=1$, HA: $y=1$. Điểm tiếp xúc $M(2, 3)$. Hệ số góc $k=y'(2)=-2$. Phương trình tiếp tuyến $d: y=-2x+7$. Giao điểm với VA: $A(1, 5)$. Giao điểm với HA: $B(3, 1)$. $S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}|1\cdot 1 – 3\cdot 5| = \dfrac{1}{2}|-14| = 7$.”},”cau_2″:{“de_bai”:”Cho hàm số $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=-1$ cắt hai tiệm cận tại hai điểm $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.”,”dap_an”:”A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.”,”dap_an_dung”:”C.”,”loi_giai_ngan_gon”:”VA: $x=-2$, HA: $y=3$. Điểm tiếp xúc $M(-1, -4)$. Hệ số góc $k=y'(-1)=7$. Phương trình tiếp tuyến $d: y=7x+3$. Giao điểm với VA: $A(-2, -11)$. Giao điểm với HA: $B(0, 3)$. $S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}|(-2)\cdot 3 – 0\cdot (-11)| = \dfrac{1}{2}|-6| = 3$.”},”cau_3″:{“de_bai”:”Cho $(C):y=\dfrac{x}{2x-1}$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$. Tiếp tuyến $d$ cắt hai tiệm cận của $(C)$ tại $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.”,”dap_an”:”A. 1. B. 2. C. 1/2. D. 3/2.”,”dap_an_dung”:”A.”,”loi_giai_ngan_gon”:”VA: $x=1/2$, HA: $y=1/2$. Điểm tiếp xúc $M(1, 1)$. Hệ số góc $k=y'(1)=-1$. Phương trình tiếp tuyến $d: y=-x+2$. Giao điểm với VA: $A(1/2, 3/2)$. Giao điểm với HA: $B(3/2, 1/2)$. $S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}|(1/2)(1/2) – (3/2)(3/2)| = \dfrac{1}{2}|1/4 – 9/4| = \dfrac{1}{2}|-2| = 1$.”},”cau_4″:{“de_bai”:”Cho hàm số $y=\dfrac{-x+3}{x-2}$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục hoành cắt hai tiệm cận tại $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.”,”dap_an”:”A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.”,”dap_an_dung”:”B.”,”loi_giai_ngan_gon”:”Giao điểm với Ox: $y=0 \implies -x+3=0 \implies x_0=3$. Điểm tiếp xúc $M(3, 0)$. VA: $x=2$, HA: $y=-1$. Hệ số góc $k=y'(3)=-1$. Phương trình tiếp tuyến $d: y=-x+3$. Giao điểm với VA: $A(2, 1)$. Giao điểm với HA: $B(4, -1)$. $S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}|2(-1) – 4(1)| = \dfrac{1}{2}|-6| = 3$.”},”cau_5″:{“de_bai”:”Cho hàm số $(C):y=\dfrac{4x+1}{x}$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$ cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm $A$ và $B$. Tính diện tích tam giác $OAB$.”,”dap_an”:”A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.”,”dap_an_dung”:”B.”,”loi_giai_ngan_gon”:”VA: $x=0$, HA: $y=4$. Điểm tiếp xúc $M(-1, 3)$. Hệ số góc $k=y'(-1)=-1$. Phương trình tiếp tuyến $d: y=-x+2$. Giao điểm với VA ($x=0$): $A(0, 2)$. Giao điểm với HA ($y=4$): $B(-2, 4)$. $S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}|0\cdot 4 – (-2)\cdot 2| = \dfrac{1}{2}|4| = 2$.”}}