Cho hàm số $y=f(x)=3x^3+4x^2+5x+1$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)=3x^3+4x^2+5x+1$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $-1$.

b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục $Ox$ có 1 giao điểm.

c) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $d:y=-3$ có 3 giao điểm.

d) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua điểm có tọa độ $M(2;52)$.

Lời giải:
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $-1$.
(Vì): Cho $x=0$ thì $y=1$.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục $Ox$ có 1 giao điểm.
(Vì): Bấm máy phương trình $3x^3+4x^2+5x+1=0$ có một nghiệm.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $d:y=-3$ có 3 giao điểm.
(Vì): Bấm máy phương trình $3x^3+4x^2+5x+1=-3$ có một nghiệm.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua điểm có tọa độ $M(2;52)$.
(Vì): Thay $x=2$ vào hàm số ta tìm được $f(2)=51$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu kiểm tra các đặc điểm cơ bản của đồ thị hàm số đa thức (cụ thể là hàm bậc ba và bậc bốn) thông qua việc thay giá trị và giải phương trình. Các đặc điểm cần kiểm tra bao gồm: Giao điểm với trục tung (tính $f(0)$); Giao điểm với trục hoành (số nghiệm của $f(x)=0$); Giao điểm với đường thẳng ngang $y=c$ (số nghiệm của $f(x)=c$); Kiểm tra điểm thuộc đồ thị (thay tọa độ điểm vào hàm số). Phương pháp giải chủ yếu là đại số hóa các yêu cầu hình học và sử dụng máy tính cầm tay để tìm số nghiệm của phương trình bậc 3 hoặc bậc 4, hoặc phân tích tính đơn điệu (đối với hàm bậc 3) để xác định số giao điểm.

Bài toán tương tự

1. Bài toán kiểm tra tính đúng sai (Tương tự bài gốc):

Cho hàm số $y=g(x)=x^3 – 3x^2 + 2x – 1$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Đồ thị hàm số $y=g(x)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $-1$.

b) Đồ thị hàm số $y=g(x)$ đi qua điểm có tọa độ $A(2; -1)$.

c) Đồ thị hàm số $y=g(x)$ và trục $Ox$ có 3 giao điểm phân biệt.

d) Đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $d:y=-1$ có 3 giao điểm phân biệt.

Lời giải:
(Đúng) a) Vì: $g(0)=-1$.
(Đúng) b) Vì: Thay $x=2$ vào hàm số ta được $g(2) = 8 – 3(4) + 2(2) – 1 = 8 – 12 + 4 – 1 = -1$.
(Sai) c) Vì: Phương trình $x^3 – 3x^2 + 2x – 1 = 0$ có đạo hàm $y’=3x^2-6x+2$. Hàm số có CĐ/CT nhưng giá trị cực đại và cực tiểu đều nhỏ hơn 0 ($y_{CĐ} imes y_{CT} > 0$), nên phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
(Đúng) d) Vì: Phương trình $x^3 – 3x^2 + 2x – 1 = -1 ext{ }
ightleftarrows x^3 – 3x^2 + 2x = 0 ext{ }
ightleftarrows x(x^2 – 3x + 2) = 0 ext{ }
ightleftarrows x(x-1)(x-2)=0$. Có 3 nghiệm phân biệt $x=0, x=1, x=2$.

2. Bài toán Trắc nghiệm (Số giao điểm Ox):

Hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 1$. Hỏi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm là $x^4 – 2x^2 + 1 = 0 ext{ }
ightleftarrows (x^2-1)^2 = 0 ext{ }
ightleftarrows x^2=1 ext{ }
ightleftarrows x= extpm 1$. Có 2 nghiệm thực phân biệt.

3. Bài toán Trắc nghiệm (Kiểm tra điểm thuộc đồ thị):

Cho hàm số $y = x^3 + x^2 + x + 1$. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$.

B. Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại duy nhất 1 điểm.

C. Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng 1.

D. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(-1; 0)$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: Ta kiểm tra $f(0)$. $f(0) = 0^3 + 0^2 + 0 + 1 = 1$. Do $f(0)
e 0$, đồ thị không đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$.

4. Bài toán Trắc nghiệm (Số giao điểm với đường thẳng ngang):

Cho hàm số $y = x^3 – 3x$. Số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y=2$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^3 – 3x = 2 ext{ }
ightleftarrows x^3 – 3x – 2 = 0$. Phương trình này có 2 nghiệm phân biệt là $x=-1$ (nghiệm kép) và $x=2$ (nghiệm đơn). Vậy có 2 giao điểm.

5. Bài toán kiểm tra tính đúng sai (Hàm bậc bốn):

Cho hàm số $y = x^4 – 5x^2 + 4$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $A(0; 4)$.

b) Đồ thị hàm số đối xứng qua trục $Oy$.

c) Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt.

d) Đồ thị hàm số và đường thẳng $d:y=4$ có 3 giao điểm.

Lời giải:
(Đúng) a) Vì: $f(0)=4$.
(Đúng) b) Vì: Hàm số chỉ chứa lũy thừa chẵn của $x$, đây là hàm chẵn $f(-x)=f(x)$, nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$.
(Đúng) c) Vì: Phương trình $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt $x= extpm 1, x= extpm 2$.
(Đúng) d) Vì: Phương trình $x^4 – 5x^2 + 4 = 4 ext{ }
ightleftarrows x^4 – 5x^2 = 0 ext{ }
ightleftarrows x^2(x^2-5)=0$. Có 3 nghiệm phân biệt $x=0, x= extpm extstyle
oot{2} ext{5}$.