Cho $(C):y=\dfrac{-2x+1}{3x+3},d:y=-x-2m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $-25\leq m\leq 25$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+2)(x_2+2){\geq}-1$?

Bài toán gốc

Cho $(C):y=\dfrac{-2x+1}{3x+3},d:y=-x-2m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $-25\leq m\leq 25$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+2)(x_2+2){\geq}-1$?

A. $28$.B. $26$.C. $25$.D. $23$.

Lời giải: $\Delta=36m^2-60m-11$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán tìm tham số $m$ để đường thẳng cắt đồ thị hàm phân thức tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện Vi-ét mở rộng. Phương pháp giải gồm các bước: 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm, quy đồng và đưa về phương trình bậc hai $Ax^2+Bx+C=0$. 2. Điều kiện để có hai giao điểm phân biệt là $\Delta>0$ và hoành độ giao điểm phải khác giá trị loại trừ (nghiệm của mẫu số). 3. Áp dụng định lý Vi-ét ($S = x_1+x_2, P = x_1x_2$) để biểu diễn điều kiện cho $x_1, x_2$ theo tham số $m$. 4. Giải bất phương trình chứa $m$ và kết hợp với điều kiện $\Delta>0$ và giới hạn đề bài để tìm số giá trị nguyên của $m$. (Trong bài toán gốc, $\Delta = 36m^2-60m-11>0$ là bước đầu tiên để đảm bảo có 2 giao điểm).

Bài toán tương tự

Câu 1. Tìm số giá trị nguyên của $m$ trong đoạn $[-10, 10]$ để đồ thị $(C): y = \dfrac{x-3}{x-1}$ cắt đường thẳng $d: y = 2x + m$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1x_2 + 3(x_1+x_2) \leq 1$.
A. 7.B. 8.C. 6.D. 5.
Đáp án đúng: A. 7.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2 + (m-3)x + (3-m) = 0$ ($x \neq 1$). $\Delta = m^2 + 2m – 15$. Điều kiện cắt tại 2 điểm là $\Delta > 0 \iff m < -5$ hoặc $m > 3$. Vi-ét: $S = P = (3-m)/2$. Điều kiện bài toán: $P+3S \leq 1 \iff 4S \leq 1 \iff 2(3-m) \leq 1 \iff m \geq 2.5$. Kết hợp điều kiện $\Delta>0$ và $m \geq 2.5$, ta được $m > 3$. Trong $[-10, 10]$, $m \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Có 7 giá trị.

Câu 2. Cho hàm số $(C): y = \dfrac{x+1}{x-1}$ và đường thẳng $d: y = x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-5, 5]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $|x_1 – x_2| \geq 2$?
A. 10.B. 11.C. 9.D. 12.
Đáp án đúng: B. 11.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2 + (m-2)x – (m+1) = 0$ ($x \neq 1$). $\Delta = m^2 + 8$. Luôn $> 0$ (luôn có 2 giao điểm). Vi-ét: $S = 2-m, P = -(m+1)$. Điều kiện: $|x_1 – x_2| \geq 2 \iff S^2 – 4P \geq 4$. Thay vào: $(2-m)^2 + 4(m+1) \geq 4 \iff m^2 + 8 \geq 4 \iff m^2 \geq -4$. Điều này luôn đúng với mọi $m$. Do đó, mọi giá trị nguyên $m \in [-5, 5]$ đều thỏa mãn. Số giá trị là $5 – (-5) + 1 = 11$.

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-15, 15]$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x+1}{x+1}$ cắt đường thẳng $y = 3x + m$ tại hai điểm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $3(x_1+x_2) + 2x_1x_2 = -5$?
A. 0.B. 2.C. 1.D. 3.
Đáp án đúng: C. 1.
Lời giải: PT HĐGĐ: $3x^2 + (m+1)x + (m-1) = 0$ ($x \neq -1$). $\Delta = m^2 – 10m + 13$. Vi-ét: $S = -(m+1)/3, P = (m-1)/3$. ĐK: $3S + 2P = -5 \iff 3(-(m+1)/3) + 2((m-1)/3) = -5$. Giải phương trình ta được $m=10$. Kiểm tra $\Delta$ tại $m=10$: $\Delta = 10^2 – 10(10) + 13 = 13 > 0$. $m=10$ thỏa mãn và nằm trong khoảng $[-15, 15]$. Có 1 giá trị.

Câu 4. Tìm số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-20, 20]$ để đường thẳng $d: y = x+m$ cắt đồ thị $(C): y = \dfrac{2x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
A. 20.B. 21.C. 22.D. 23.
Đáp án đúng: D. 23.
Lời giải: PT HĐGĐ: $x^2 + (m-1)x + (m-3) = 0$ ($x \neq -1$). $\Delta = (m-3)^2 + 4$. Luôn $> 0$ (luôn cắt 2 điểm). Hai điểm nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi tích hoành độ $x_1x_2 < 0$. $P = m-3$. Ta có $m-3 < 0 \iff m < 3$. Kết hợp với giới hạn $m \in [-20, 20]$, ta có $m \in \{-20, -19, \dots, 2\}$. Số giá trị là $2 - (-20) + 1 = 23$. Câu 5. Cho $(C): y = \dfrac{x+2}{x-2}$ và đường thẳng $d: y = x+m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10, 10]$ để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $(x_1-1)(x_2-1) \leq 1$?
A. 16.B. 15.C. 14.D. 17.
Đáp án đúng: A. 16.
Lời giải: PT HĐGĐ: $x^2 + (m-3)x – (2m+2) = 0$ ($x \neq 2$). $\Delta = m^2 + 2m + 17 > 0$ (Luôn cắt 2 điểm). Vi-ét: $S = 3-m, P = -(2m+2)$. Điều kiện: $(x_1-1)(x_2-1) \leq 1 \iff x_1x_2 – (x_1+x_2) + 1 \leq 1 \iff P – S \leq 0$. Thay vào: $-(2m+2) – (3-m) \leq 0 \iff -m – 5 \leq 0 \iff m \geq -5$. Kết hợp với giới hạn $m \in [-10, 10]$, ta có $m \in \{-5, -4, \dots, 10\}$. Số giá trị là $10 – (-5) + 1 = 16$.