Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-21x^2+60x-3$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-21x^2+60x-3$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

a) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$.

b) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành có 3 giao điểm.

c) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $d:y=3$ có 1 giao điểm.

d) $y^{\prime}{>}0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;2\right)\cup \left(5;+\infty\right)$.

Lời giải:
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$.
(Vì): Cho $x=0$ thì $y=-3$.
(Sai) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành có 3 giao điểm.
(Vì): Bấm máy phương trình $2x^3-21x^2+60x-3=0$ có một nghiệm.
(Đúng) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $d:y=3$ có 1 giao điểm.
(Vì): Bấm máy phương trình $2x^3-21x^2+60x-3=3$ có một nghiệm.
(Đúng) $y^{\prime}{>}0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;2\right)\cup \left(5;+\infty\right)$.
(Vì): $y^{\prime}{>}0\Leftrightarrow 6x^2-42x+60 {>}0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;2\right)\cup \left(5;+\infty\right)$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu kiểm tra các tính chất cơ bản của đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$, bao gồm: 1. Giao điểm với trục tung (cho $x=0$). 2. Giao điểm với các đường thẳng ngang $y=k$ (phân tích số nghiệm của phương trình $f(x)=k$ dựa trên giá trị các cực trị của hàm số). 3. Khoảng đồng biến, nghịch biến (dựa vào dấu của đạo hàm $y’$). Phương pháp giải chủ yếu là tính đạo hàm $y’$, tìm cực trị (nếu cần), và sử dụng định lý giá trị trung gian hoặc bảng biến thiên để xác định số giao điểm và khoảng đơn điệu.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2+1$. Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=1$.
B. Đồ thị hàm số và trục hoành có đúng 3 giao điểm phân biệt.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
D. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: Ta có $y’=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y’=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Các giá trị cực trị là $f(0)=1$ (CĐ) và $f(2)=-3$ (CT).
– A, D đúng: $f(0)=1$.
– B đúng: Vì $y_{CĐ}=1>0$ và $y_{CT}=-3<0$, nên phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt (3 giao điểm).
– C sai: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ vì $y'<0$ khi $0