Cho $(C):y=\dfrac{2x-3}{-x-1},d:y=5x+m$. Biết $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho đoạn $AB$ là nhỏ nhất, khi đó giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào?

Bài toán gốc

Cho $(C):y=\dfrac{2x-3}{-x-1},d:y=5x+m$. Biết $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho đoạn $AB$ là nhỏ nhất, khi đó giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào?

A. $(4;6)$.B. $(0;2)$.C. $(-2;0)$.D. $(2;4)$.

Lời giải: $\Delta=m^2-6m+109$.
$AB^2=\dfrac{26}{25}m^2-\dfrac{156}{25}m+\dfrac{2834}{25}$.
$AB$ nhỏ nhất khi $m=3$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tìm tham số $m$ để khoảng cách giữa hai giao điểm $A, B$ của đồ thị hàm phân thức $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ và đường thẳng $y = kx+m$ đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp giải chung là: 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm, thu được phương trình bậc hai $Ax^2+Bx+C=0$. 2. Tính bình phương khoảng cách $AB^2 = (1+k^2) \cdot (x_A – x_B)^2 = (1+k^2) \cdot \frac{\Delta}{A^2}$. 3. Biểu thức $AB^2$ là một hàm bậc hai theo $m$, $f(m)$. Tìm giá trị $m$ làm $f(m)$ đạt cực tiểu (tại đỉnh parabol $m_0 = -B_{m}/(2A_{m})$, trong đó $A_m, B_m$ là hệ số của $m^2$ và $m$ trong $f(m)$). 4. Đảm bảo điều kiện $\Delta > 0$ tại $m_0$. Trong các bài toán tương tự, chúng ta sẽ chọn các hàm số và đường thẳng sao cho $\Delta$ luôn dương hoặc $\Delta_{min} > 0$ để đảm bảo hai giao điểm luôn tồn tại, và giá trị $m$ tìm được thuộc các khoảng đáp án khác nhau.

Bài toán tương tự

Câu 1. Cho hàm số $(C):y=\dfrac{x+2}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=3x+m$. Biết $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$. Giá trị của tham số $m$ để đoạn $AB$ là nhỏ nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(0; 2)$. B. $(-3; -1)$. C. $(2; 4)$. D. $(-5; -3)$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $3x^2+(m-4)x-(m+2)=0$. Đường thẳng $d$ có hệ số góc $k=3$. $AB^2 = (1+3^2)\dfrac{\Delta}{3^2} = \dfrac{10}{9}(m^2+4m+40)$. $AB$ nhỏ nhất khi $f(m)=m^2+4m+40$ nhỏ nhất. Đỉnh parabol tại $m = -4/2 = -2$. $m=-2$ thuộc khoảng $(-3; -1)$.

Câu 2. Cho đồ thị hàm số $(C):y=\dfrac{3x+1}{x+2}$ và đường thẳng $d:y=-2x+m$. Tìm giá trị của tham số $m$ để đoạn $AB$ nối hai giao điểm của $(C)$ và $d$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $m=0$. B. $m=1$. C. $m=-1$. D. $m=2$.

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2+(7-m)x+(1-2m)=0$. Hệ số góc $k=-2$. $AB^2 = (1+(-2)^2)\dfrac{\Delta}{2^2} = \dfrac{5}{4}(m^2+2m+41)$. $AB$ nhỏ nhất khi $f(m)=m^2+2m+41$ nhỏ nhất. Đỉnh parabol tại $m = -2/2 = -1$.

Câu 3. Cho $(C):y=\dfrac{3x+7}{x-1}$. Đường thẳng $d:y=2x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A,B$. Khi $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của $m$ thuộc khoảng nào?

A. $(2; 4)$. B. $(0; 2)$. C. $(-1; 0)$. D. $(4; 6)$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2+(m-5)x-(m+7)=0$. Hệ số góc $k=2$. $AB^2 = (1+2^2)\dfrac{\Delta}{2^2} = \dfrac{5}{4}(m^2-2m+81)$. $AB$ nhỏ nhất khi $f(m)=m^2-2m+81$ nhỏ nhất. Đỉnh parabol tại $m = 2/2 = 1$. $m=1$ thuộc khoảng $(0; 2)$.

Câu 4. Tìm tham số $m$ để đoạn thẳng nối hai giao điểm $A, B$ của đồ thị hàm số $y=\dfrac{7x+1}{x-1}$ và đường thẳng $y=5x+m$ đạt độ dài nhỏ nhất.

A. $m=1$. B. $m=-1$. C. $m=2$. D. $m=4$.

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $5x^2+(m-12)x-(m+1)=0$. Hệ số góc $k=5$. $AB^2 = (1+5^2)\dfrac{\Delta}{5^2} = \dfrac{26}{25}(m^2-4m+164)$. $AB$ nhỏ nhất khi $f(m)=m^2-4m+164$ nhỏ nhất. Đỉnh parabol tại $m = 4/2 = 2$. $m=2$.

Câu 5. Cho đồ thị hàm số $(C):y=\dfrac{7x+1}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=3x+m$. Biết $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho đoạn $AB$ là nhỏ nhất, khi đó giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào?

A. $(1; 3)$. B. $(3; 5)$. C. $(-1; 1)$. D. $(5; 7)$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải ngắn gọn: Phương trình hoành độ giao điểm: $3x^2+(m-10)x-(m+1)=0$. Hệ số góc $k=3$. $AB^2 = (1+3^2)\dfrac{\Delta}{3^2} = \dfrac{10}{9}(m^2-8m+112)$. $AB$ nhỏ nhất khi $f(m)=m^2-8m+112$ nhỏ nhất. Đỉnh parabol tại $m = 8/2 = 4$. $m=4$ thuộc khoảng $(3; 5)$.