Đồ thị $(C):y=\dfrac{4x+2}{x-1}$ và $d:y=3x-11$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1+x_2$ bằng

Bài toán gốc

Đồ thị $(C):y=\dfrac{4x+2}{x-1}$ và $d:y=3x-11$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1+x_2$ bằng

A. $6$.B. $8$.C. $7$.D. $5$.

Lời giải: $-3x^2+18x-9=0$

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán yêu cầu tìm tổng (hoặc tích) các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ và đường thẳng $y=kx+m$. Phương pháp giải là lập phương trình hoành độ giao điểm, quy đồng mẫu thức để đưa về dạng phương trình bậc hai $Ax^2+Bx+C=0$. Sau khi kiểm tra điều kiện nghiệm (khác tiệm cận đứng) và điều kiện để có hai nghiệm phân biệt (Delta > 0), ta áp dụng Định lí Vi-ét: Tổng hai nghiệm là $x_1+x_2 = -B/A$ và Tích hai nghiệm là $x_1x_2 = C/A$.

Bài toán tương tự

5 Bài toán tương tự:

**1. (Tổng hoành độ)**

Đồ thị $(C):y=\dfrac{3x+1}{x-2}$ và đường thẳng $d:y=2x-5$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1+x_2$ bằng

A. $5$. B. $6$. C. $4$. D. $7$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{3x+1}{x-2} = 2x-5$. Điều kiện $x\ne 2$. Quy đồng: $3x+1 = (2x-5)(x-2) \Leftrightarrow 3x+1 = 2x^2-9x+10 \Leftrightarrow 2x^2-12x+9=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_1+x_2 = -\dfrac{-12}{2} = 6$.

**2. (Tích hoành độ)**

Đồ thị $(C):y=\dfrac{4x-1}{x-2}$ và đường thẳng $d:y=x+3$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1x_2$ bằng

A. $-5$. B. $3$. C. $5$. D. $-3$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{4x-1}{x-2} = x+3$. Điều kiện $x\ne 2$. Quy đồng: $4x-1 = (x+3)(x-2) \Leftrightarrow 4x-1 = x^2+x-6 \Leftrightarrow x^2-3x-5=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_1x_2 = \dfrac{-5}{1} = -5$.

**3. (Tổng hoành độ với hệ số âm)**

Đồ thị $(C):y=\dfrac{-2x+1}{x+3}$ và đường thẳng $d:y=3x+7$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là $x_1,x_2$. Giá trị $x_1+x_2$ bằng

A. $6$. B. $-6$. C. $4$. D. $-4$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{-2x+1}{x+3} = 3x+7$. Điều kiện $x\ne -3$. Quy đồng: $-2x+1 = (3x+7)(x+3) \Leftrightarrow -2x+1 = 3x^2+16x+21 \Leftrightarrow 3x^2+18x+20=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_1+x_2 = -\dfrac{18}{3} = -6$.

**4. (Tổng hoành độ – Thay đổi hệ số)**

Cho hàm số $y=\dfrac{3x+7}{x-2}$ có đồ thị $(C)$. Đường thẳng $d:y=2x-1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ có hoành độ lần lượt là $x_A, x_B$. Tính tổng $x_A+x_B$.

A. $8$. B. $6$. C. $4$. D. $2$.

Đáp án đúng: C.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{3x+7}{x-2} = 2x-1$. Điều kiện $x\ne 2$. Quy đồng: $3x+7 = (2x-1)(x-2) \Leftrightarrow 3x+7 = 2x^2-5x+2 \Leftrightarrow 2x^2-8x-5=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_A+x_B = -\dfrac{-8}{2} = 4$.

**5. (Tích hoành độ – Tính toán phức tạp hơn)**

Đồ thị $(C):y=\dfrac{5x+3}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=4x-2$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$. Giá trị của $x_1x_2$ là:

A. $-1$. B. $5$. C. $-5$. D. $1$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{5x+3}{x-1} = 4x-2$. Điều kiện $x\ne 1$. Quy đồng: $5x+3 = (4x-2)(x-1) \Leftrightarrow 5x+3 = 4x^2-4x-2x+2 \Leftrightarrow 4x^2-11x-1=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_1x_2 = \dfrac{-1}{4}$. (Lỗi sai số học khi tạo đề, cần điều chỉnh đề để có đáp án khớp).

***Điều chỉnh lại Bài 5 để có đáp án nguyên***

Đồ thị $(C):y=\dfrac{4x+1}{x-2}$ và đường thẳng $d:y=2x+5$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$. Giá trị của $x_1x_2$ là:

A. $-11$. B. $-9$. C. $11$. D. $9$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{4x+1}{x-2} = 2x+5$. Điều kiện $x\ne 2$. Quy đồng: $4x+1 = (2x+5)(x-2) \Leftrightarrow 4x+1 = 2x^2-4x+5x-10 \Leftrightarrow 4x+1 = 2x^2+x-10 \Leftrightarrow 2x^2-3x-11=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_1x_2 = \dfrac{-11}{2} = -5.5$. (Tiếp tục sai số học).

***Điều chỉnh Bài 5 lần cuối***

Đồ thị $(C):y=\dfrac{3x+1}{x+2}$ và đường thẳng $d:y=x+1$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$. Giá trị của $x_1x_2$ là:

A. $-1$. B. $1$. C. $3$. D. $-3$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{3x+1}{x+2} = x+1$. Điều kiện $x\ne -2$. Quy đồng: $3x+1 = (x+1)(x+2) \Leftrightarrow 3x+1 = x^2+3x+2 \Leftrightarrow x^2+1=0$. (Vô nghiệm).

***Thử lại Bài 5***

Đồ thị $(C):y=\dfrac{5x-1}{x-3}$ và đường thẳng $d:y=2x-5$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$. Giá trị của $x_1x_2$ là:

A. $8$. B. $16$. C. $-8$. D. $-16$.

Đáp án đúng: B.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{5x-1}{x-3} = 2x-5$. Điều kiện $x\ne 3$. Quy đồng: $5x-1 = (2x-5)(x-3) \Leftrightarrow 5x-1 = 2x^2-6x-5x+15 \Leftrightarrow 5x-1 = 2x^2-11x+15 \Leftrightarrow 2x^2-16x+16=0$. Áp dụng Vi-ét: $x_1x_2 = \dfrac{16}{2} = 8$.